§ 41. Geometrie der einförmigen Grundgebilde. 131
§ 41.
Geometrie der einförmigen Grandgebilde.
Wir wollen zunächst untersuchen, welche Bedeutung der Para
meter hat, der in der Gleichung einer Punctreihe oder eines Ebenen-
hüschels auftritt. Stellt
U+XV = 0
die Gleichung der Punctreihe oder des Ebenenbüschels dar, so kennen
wir die Bedeutung des Parameters X, sobald die Gleichungen U — 0,
V — 0 der beiden Grundelemente in den gewöhnlichen Coordinateli
gegeben sind: Es ist dann X bis auf einen constanten Factor gleich
dem Abstandsverhältuisse des betreffenden Elementes von den beiden
Grundelementen. Dieselbe Bedeutung behält das X, wenn die Grund
elemente durch homogene Coordinateli dargestellt werden. Wir er
kennen diese Thatsache, indem wir in der Gleichung der Punctreihe
oder des Ebenenbüschels die homogenen Coordinateli auf die gewöhn
lichen zurückführen (§ 32). Dies geschieht mittelst der Formel
§ 32 S. 114:
Q G {u x X| U 2 x2 -f- U 3 x3 -f- u 4 x 4 ) = R (u l X l -f- U 2 X 2 -f- U 3 x3 -f- u 4 x 4 )
{l) 1 x l -f- D 2 x 2 -j- l) z x3 ^D 4 x 4 )(ß x u x -\-d 2 u 2 -\-d z Uz-\-d 4 u^){ux-\-vy-{-wz-\-l).
Sind daher U'= 0 und V'— 0 die Gleichungen bezüglich der Grund
elemente U = 0 und V = 0 in gewöhnlichen Coordinaten, so erhält
man als Gleichung des Gebildes U -f- X V = 0 die Gleichung :
wo das m ein constanter, blofs von den Constanten der Gleichungen
der Grundelemente abhängiger Factor ist. Derselbe wird durch ver
schiedene Ausdrücke dargestellt, je nachdem ü -j- X V = 0 die Gleich
ung einer Punctreihe oder eines Strahlenbüschels darstellt. Sind im
ersteren Palle x Xj x 2 , x s , x 4 und x 4 , x 2 , x%, x 4 die homogenen Coor
dinaten der Grundpuncte U — 0 und V = 0, so ist
_ JR ¿cf-f- D 2 x 2 '+ -¿W+ DjXi'.
Ri X i -f- T) 2 X 2 + #3*3 + #4*4 ’
bezeichnen im zweiten Falle
naten der Grundebene U —
Grundebene V — 0, so ist
(h\U\ —(- d 2 u 2 ■ i■ d 2 u 2 -j— dt u 4
di Ui —p d 2 u 2 ~(— d 2 u^ —J— d 4 u 4
Also ist auch, wenn ü — 0 und V = 0 die
zweier Ebenen oder Puncte in homogenen Coordinaten be
zeichnen
