132 II. Abschnitt. Siebentes Capitel. Die einförmigen Grundgebilde. 
abgesehen von einem constanten Factor, immer gleich 
dem Abstandsverhältuisse des betreffenden Elementes 
von den beiden Grundelementen. 
Ist daher ü = 0 die Gleichung eines Punctes A, V — 0 die eines 
Punctes JB und Z7 -j- A = 0 die Gleichung eins Punctes C, so ist § 1.8 
wo a eine (konstante bezeichnet, welche blofs von den Constanten 
der Gleichungen der Grundelemente abhängt. Ist aber U = 0 die 
Gleichung einer Ebene a, V=0 die der Ebene b, und stellt U -j- IV =0 
die Ebene c dar, so ist § 12, 6 
sin (a, c) R , 
sin (c, &) 
wo wieder ß eine derartige Constante ist. 
Die Thatsache, dafs das Abstandsverhältnis eines Elementes von 
den beiden Grundelementen, bis auf einen constanten Factor, gleich 
dem Parameter des betreffenden Elementes ist, war nur ein specieller 
Fall des allgemeinen Satzes, dafs das Abstandsverhältnis eines Ele 
mentes von zwei anderen bis auf einen constanten Factor durch die 
Parameter der drei Elemente ausdrückbar ist. 
Diese Behauptung läfst sich leicht beweisen, indem die Grund 
elemente in zwei der gegebenen Elemente verlegt werden. Der Para 
meter des dritten Elementes für diese beiden als Grundelemente ist 
dann bis auf einen constanten Factor gleich dem Abstandsverhältnisse 
dieses dritten Elementes von den beiden anderen. Sind nun Aj, A 2 , 
A 3 die Parameter der drei Elemente und sind W x — 0, W 2 — 0, 
TFg = 0 bezüglich ihre Gleichungen, so ist, wenn Q lf q 2 und p 3 
gewisse constante Factoren bezeichnen, 
QlWl =U+^ q 2 W 2 = U-f- A 2 F; ^3= U+ A 3 F. 
Wählen wir nun die Elemente W x — 0 und W 2 — 0 zu Grund 
elementen, so können wir sowohl U als V vermöge der beiden ersten 
dieser Gleichungen durch W x und W 2 ausdrücken. Diese Werte in 
dem Ausdrucke für W 3 eingeführt, geben 
^=1 
— /l 2 Ci 
^2 Qs 
w x 
^3 'b Pa—rp- 
^2 ?3 ' ’ 
somit ist die Gleichung des dritten Elementes für W x — 0 und 
W 2 — 0 als Gruudeleraente: 
Qi (^2 ^3) p 2 (Aj A 3 ) W 2 = 0. 
Das Abstandsverhältnis des Elementes W 3 von W x und W 2 
ist daher bis auf einen constanten Factor: - i ■ 
*3 — ^2