§ 45. Das Doppelverhältnis 
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Es gilt aber offenbar auch die Umkehrung, welche die erwähnte 
neue Definition der Projectivität enthält: 
Sind die Elemente zweier einförmigen Grundgebilde 
derart einander zugewiesen, dafs das Doppelverhältnis 
gebildet aus irgend drei festen Elementen mit irgend 
einen vierten Elemente des einen Gebildes immer gleich 
ist dem Doppel Verhältnisse gebildet aus den entsprechen 
den des anderen, so sind die beiden Gebilde projectivisch. 
Denn sind Aj, A 2 , A 3 die Parameter dreier Elemente des einen und 
A,', A./, A 3 ' die der entsprechenden Elemente des anderen Gebildes, 
ist ferner A der Parameter irgend eines Elementes des ersten Ge 
bildes und A' der seines entsprechenden im zweiten Gebilde, so hängen 
A und A' nach der Voraussetzung durch die Relation zusammen: 
Ai A . A, A3 A, A > A, A 3 
X> A3 — X 
oder 
Aj A A 2 A 
A — A 2 A, — Ao ^ 
A Ao 
WA 
WO 
m = 
A< A q 
A,'- 
A3 A 2 A 3 — A 2 
eine constante Gröfse ist. Somit sind A und A' durch eine nach jeder 
dieser Gröfsen lineare Relation mit einander verbunden, d. h. die 
beiden Gebilde sind proj ecti visch. 
Unser oben definiertes Doppelverhältnis erlangt durch diesen 
Satz eine fundamentale Bedeutung für die projectivische Geometrie, 
welche eine eingehendere Erörterung seiner Beschaffenheit rechtfertigt. 
§ 45. 
Das Doppelverhältnis. 
In dem vorhergehenden Paragraphen wurde mit dem Symbol 
{ahcd) das Doppelverhältnis 
bezeichnet und dasselbe das Doppelverhältuis der vier Gröfsen a, h, 
c, d oder der ihnen als Parameter entsprechenden Elemente genannt. 
Die Umsetzung des Symbols in das Doppelverhältnis ist hiernach 
klar; sind a, h die ersten Buchstaben in dem Symbol, so wird das 
Doppelverhältnis erhalten, indem in 
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die leeren Stellen des ersten Bruches durch den dritten, des zweiten 
Bruches durch den vierten Buchstaben des Symbols ausgefüllt werden.