142 II. Abschnitt. Siebentes Capitel, Die einförmigen Grundgebilde. 
Wird 
1) 
Ix 
i 
— IT 
so ist 
Ti 1 = 1 
k = + 1 
2) 
k 
= 1 — k 
V 11 
2k — 1 
k =4 
3) 
k 
i 
— T - Je 
11 >1 
Ic^ — k -j— ! = 0 j 
7. i + V— 3 
4) 
k 
Je — 1 
“ k 
}1 11 
№ -k-f 1 = 0 J 
2 
5) 
k 
Je 
~ Je — 1 
11 11 
Q> 
11 
VT 
1 
11 
to 
11 
o 
Von diesen fünf Fällen bedingen sich jedoch nicht allein der Fall 3 
und 4, sondern sie reducieren sich überhaupt auf nur drei von ein 
ander verschiedene. Denn gehen wir von k = -j- 1 aus, so erhalten 
wir aus der obigen Reihe, welche die Werte der sechs verschiedenen 
Doppelverhältnisse aus denselben vier Elementen angiebt: 
1, 1, 0, oo, 0, oo. 
Dieselben sechs Werte, nur in anderer Reihenfolge, liefert aber auch 
der Wert k = 0 im fünften Falle. 
Ist Tb = — 1, so erhalten wir die sechs Werte der Doppelver 
hältnisse 
1 I 9 Jl 9 JL 
A > i i Z i 2 ’ 2 
Dieselbe Wertreihe, nur in anderer Folge, ergiebt sich aber auch, 
wenn wir von k — ~ im zweiten Falle oder k = 2 im fünften Falle 
ausgehen. 
Die Forderung, dafs von den sechs sonst verschiedenen Werten, 
deren die Doppelverhältnisse aus vier Elementen fähig sind, einige 
gleich werden, führt uns also zu drei ausgezeichneten Lagen der vier 
Elemente. 
In der ersten hat eines ihrer Doppelverhältnisse den Wert k = -f-1 
und es haben daher zwei Elemente von den beiden anderen dasselbe 
Abstandsverhältnis, d. h. sie fallen zusammen. 
In der zweiten Lage hat eines ihrer Doppelverhältnisse den Wert 
k =—1, d. h. die Abstandsverhältnisse zweier Elemente gegen die 
beiden ^anderen sind entgegengesetzt gleich. Diese Lage der 
Elemente wird die harmonische Lage, und die vier Ele 
mente, deren Doppelverhältnis den Wert — 1 hat, werden 
vier harmonische Elemente genannt. Bei dieser Gruppierung 
der Elemente im Symbol des Doppelverhältnisses, wo dasselbe den 
Wert — 1 annimmt, heifsen seine beiden ersten und seine beiden 
letzten Elemente einander zugeordiiete oder auch harmonisch con-