§ 46. Die YerwandtschaftsgleichuBg. 
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jugierte Elemente. Das negative Zeichen von 1c zeigt somit an, dafs, 
wenn ein Element des einen Paares innerhalb der Elemente des 
zweiten liegt, dann sein zugeordnetes Element außerhalb dieser beiden 
liegen mnfs: die zugeordueten Elemente der beiden Paare trennen 
daher gegenseitig einander. Vertauscht man im Symbol die zugeord- 
neteu Elemente eines Paares oder das eine Paar mit dem anderen, 
so behält das Symbol in jeder dieser Anordnungen seinen Wert — 1, 
d. h. in jeder dieser Anordnungen sind die vier Elemente vier har 
monische Elemente. 
Einen sehr speciellen Fall von vier harmonischen 
Puncten stellen die Grenzpuncte einer Strecke, ihr Mittel- 
punct und der unendlich ferne Punct der Geraden dar. 
Denn sind = 0, A 2 — 0 die Gleichungen der Grenzpuncte, so 
ist A t -J- A 2 — 0 die Gleichung des Mittelpunctes der Strecke, 
und A x — A 2 = 0 die Gleichung des unendlich fernen Punctes, also 
der Wert des Doppelverhältnisses (0, oo, — 1, 1) = 1 = — 1. 
Sind aber A x = 0 und A 2 — 0 die Gleichungen zweier Ebenen, 
so sind A i — A 2 — 0, A t -f- A 2 = 0, die Gleichungen zweier Ebenen 
welche die beiden Nebenwinkel halbieren, die von den Ebenen 
A x — 0 und A 2 — 0 gebildet werden. 
Halbiert man einen Winkel, den zwei Ebenen ein- 
schliefsen, und seinen Nebenwinkel, so erhält man vier 
har m o ni s ch e E ben en, und z w ar s i n d di e H al bi er u ugseben en 
das eine und die beiden anderen Ebenen das andere Paar 
zu geordneter Elemente. 
In der dritten Lage hat eines der Doppelverhältnisse der vier 
Puncte den Wert k = 1 — ^—- ■ Die vier Puncte selbst werden ein 
System äquianharmonischer Puncte genannt. Wir gehen jedoch auf 
die Eigenschaften dieses Systems nicht näher ein, da es innerhalb 
des Rahmens unserer Entwickelungen keine Anwendung findet. 
§ 46. 
Die Verwandtschaftsgleichung. 
Die Yerwandtschaftsgleichung, welche die projectivische Beziehung 
zwischen den Elementen zweier einförmigen Gruudgebilde feststellt, 
enthält inhomogenerWeise vier Constante: a, 1), c, d, und ist somit 
durch das Verhältnis dreier derselben zur vierten gegeben. Kennen 
wir daher drei Paare entsprechender Elemente der beiden Grundge 
bilde, so können wir diese drei Verhältnisse und damit die Verwandt 
schaftsgleichung bestimmen. Hieraus folgt: