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§ 48. Fortsetzung. 
tan $ A 6r = tan T' A G' — Ti 
tan S A H = tan T' A H'= — Ti, 
im zweiten Falle durch die Gleichungen 
tan S A G = tan T' A H'— -f- Ti 
tan T'*G'= tan S A H = — Ti. 
Die Ebenen G und H liegen also in jedem dieser Fälle symmetrisch 
zu den Ebenen S und Eund die Ebenen G' und Asymmetrisch zu T’ und S’. 
2) Hieraus folgt unmittelbar, dafs auch für zwei projectivische 
Strahlenbüschel dieselben Sätze bestehen. Denn die Winkel eines 
Strahlenbüschels sind die Neigungswinkel der Ebenen jenes Ebenen 
büschels, dessen Axe im Mittelpunkte des Strahlenbüschels senkrecht 
auf seiner Ebene steht und zwei Ebenenbüschel, deren jeder einen 
von zwei projectivischen Strahlenbüscheln enthält, sind selbst zu einer 
projectivisch, § 43. (konstruieren wir daher zu jedem von zwei projecti 
vischen Strahlenbüscheln den Ebenenbüschel, dessen Axe auf der Ebene 
des Strahlenbüschels senkrecht steht, so sind die beiden Ebenen 
büschel zu einander projectivisch in Ansehung jener Elemente, die 
durch entsprechende Strahlen der beiden projectivischen Strahlen 
büschel hindurchgehen. Die beiden projectivischen Ebenenbüschel 
enthalten nun zwei Paare entsprechender Ebenen S und S', T und 
T', von der Beschaffenheit, dafs S _L T und S'_L T' ist; daher sind 
auch die Strahlen s und s', t und t' der beiden Strahlenbüschel, 
welche bezüglich durch S, S', T und T bestimmt werden, ent 
sprechende Strahlen, und es ist sli, s'_L f. Also: 
In jedem von zwei projectivischen Strahlenbüscheln 
existiert im Allgemeinen ein aber auch nur ein Strahlen 
paar, dessen Strahlen, ebenso wie seine entsprechenden 
im anderen Büschel, auf einander senkrecht sind. 
Bezeichnen nun X und X\ Y und Y' zwei Paare entsprechender 
Ebenen unserer beiden Ebenenbüschel, so ist 
tan S A X • tan T' A X'= tan S A Y ■ tan T' ‘ Y' 
tan T A X ■ tan S' A X'= tan T A Y ■ tan S' A T. 
Sind daher x, y, x, y die bezüglich durch die Ebenen X, Y, X\ 
Y’ bestimmten Strahlen der beiden Strahlenbüschel, so ist daher wieder 
tan s A x tan t' A x — tan s A y tau t’ A y' 
tan t A x tan s A x = tan t A y tan s A y'. 
Für die Strahlen g, h und g Ti, welche bezüglich durch die ausge 
zeichneten Ebenen der beiden Ebenenbüschel G, H und G' H be 
stimmt werden, verwandeln sich dann diese Rechtecke in Quadrate.