152 11. Abschnitt. Siebentes Capitel. Die einförmigen Grundgebilde. 
diesen Puncten die auf den Gegenkanten gelegenen verbinden, in 
einem Puncte. 
Anl, Sind Af — A 2 Ä 2 = 0 ; A 2 A 2 — A 3 A 3 = 0 ; A 3 A 3 — A 4 A 4 = 0 ; 
A 4 A 4 — A,A, = 0 die Gleichungen der Schnittpuncte der gegebenen Ebene mit 
vier Tetraederkanten, so ergiebt sich die Behauptung durch Interpretation der 
Gleichung 
Ai A 4 -j- A 2 A 2 -p A 3 A 3 -j- A 4 A 4 — 0 . 
Anmerkung. Also schneiden sich die Verbindungslinien der Mittelpuncte je 
zweier Gegenkanten eines Tetraeders in einem Puncte. 
11) Die Ebenen, welche durch je eine Kante des Tetraeders und 
den auf der gegenüberliegenden Kante construierten harmonischen 
Punct gelegt werden, schneiden sich in einem Puncte. 
Anl. Folgt ebenfalls aus der obigen Gleichung. 
12) Welche Sätze ergeben sich durch Interpretation der Gleichungen: 
— Aj J., -f- l 2 A 2 -f- A 3 u4 3 -}- A 4 A 4 = 0 
X 4 A^ — /i 2 A 2 —(— A 3 A 3 —J— A 4 A 4 = 0 
Ä 1 A 1 A 2 A 2 — A 3 A 3 -j- A 4 .T 4 = 0 
Ai A x -j- A 2 ^4 2 -J— A 3 A 3 — A 4 A 4 == 0, 
wo A 4 = 0, A 2 = 0, A 3 = 0, A 4 = 0 die Gleichungen der vier Eck- 
puncte eines Tetraeders sind? 
Anl. Um die erste dieser Gleichungen zu behandeln, untersuche man 
zunächst die Bedeutung der Puncte 
— Aj A, -(- A 2 A 2 -j- A 3 A 3 = 0 
— AjA, -f- A 2 A 2 -)- A 4 A 4 <= 0 
— AjAj -f- A 3 A 3 -j- A 4 A 4 = 0 
A 2 A 2 —J— A 3 A 3 —|— A4A4 = 0 , 
die sich aus der Bedeutung der Puncte ergiebt 
AjAj — A 2 A 2 = 0 ; X 2 A 2 — A 3 A 3 = 0 ; A 3 A 3 — A 4 A 4 = 0 
A4 A4 — A,Aj = 0 
Ai Aj -f- A 2 A 2 = 0 ; A 2 A 2 -f- A 3 A 3 = 0; A 3 A 3 + A 4 A 4 = 0 
A 4 A 4 -|- A, A t = 0 . 
13) Es sind die den Aufgaben 9 — 12 reciproken (§ 19) aufzustellen 
und durchzuführen.