156 II. Abschnitt. Achtes Capitel. Die Erzeugnisse zweier Grundgebilde. 
Aus derselben ergiebt sich zunächst — was schon aus der Entstehungs 
weise klar ist — dafs die Puncte der Axen der beiden Ebenenbüschel 
Puncte der Regelschar sind. Denn für die Coordinaten eines jeden 
solchen Punctes ist entweder E x = 0 und E 2 = 0, oder E l '= 0 und 
E 2 '= 0, also genügen dieselben der Gleichung der Regelschar. Die 
obige Gleichung können wir auch in Form einer Proportion schreiben 
E i : E x = E 2 : mE 2 , 
woraus sich ergiebt 
{Ey + A Ey) : (E 2 -\- ml E 2 ) = E x : E 2 
{Ey -j- [iEy) : (E 2 -(- m^E 2 ) — Ey : mE 2 , 
wobei A und p- irgend welche Werte besitzen mögen. Aus diesen 
beiden Gleichungen ziehen wir 
Ey Ey Ey-{- IE{ E, -j- \n.Ey 
/'• 2 Tn E‘> E z —j— m /. E z E% —|— m [i Eo 
m Ey E 2 — E 2 Ey- 
m Eg E,' 
n,X 
{E 2 -)- m k E z ) {E z -f- m jaE z )‘ 
[(-E. + IE,’) (E, + m^E') - (.E, + ¡iE{) (E, + mlE 2 ’)] ■ 
Für die Coordinaten der Puncte der Regelschar verschwindet die 
linke Seite dieser Gleichung, es mufs daher auch einer der Factoren 
rechts hierfür verschwinden. Da dies der erste Factor seiner Natur 
nach nicht sein kann, so erhalten wir für die Gleichung der Regel 
schar den neuen Ausdruck 
(Ey A Ey) {E 2 -{- m^iE 2 ) — (Ey -J- ¡¿Ey) (E 2 -J— 'ni^.E 2 ) = 0 . 
Demselben wird genügt durch die Coordinaten jedes Punctes, diegleich- 
zeitig zweien in derselben Colonne oder Zeile stehenden von den vier 
Gleichungen genügen: 
Ey + IEy = 0 Ey+ (iEy' = 0 
E 2 -f- mlE 2 — 0 E 2 -f- mpE 2 = 0 . 
Die Erfüllung der in der nämlichen Zeile stehenden Gleichungen lehrt 
nichts Neues, sondern zeigt nur, dafs die Axen der beiden Ebenen 
büschel mit allen ihren Puncten in der Regelschar liegen; wohl er 
giebt sich aber aus der Thatsache, dafs die Puncte, deren Coordinaten 
die beiden Gleichungen 
Ey + XE{= 0, E 2 + m A E 2 = 0 (2.) 
befriedigen, in der Regelschar (1.) liegen, eine wichtige Folgerung. 
Diese beiden Gleichungen stellen nämlich, wenn wir darin A als be 
weglich ansehen, zwei projectivische Ebenenbüschel dar und es liegen 
somit die Puncte der durch sie erzeugten Regelschar in der ersten 
Regelschar. Es besteht somit aufser der ursprünglichen noch eine 
zweite Regelschar und jede Gerade der einen Regelschar schneidet die 
sämmtlichen Geraden der anderen.