158 II- Abschnitt. Achtes Capitel. Die Erzeugnisse zweier Grundgebilde, 
§ 52. 
Fortsetzung. 
Zu demselben Ergebnisse können wir auch in anderer Weise ge 
langen. Da nämlich die Gleichung der Regelschar 
mE x E 2 — E x E 2 = 0 
nach den Coordinateli x x , x 2 , x 3 , x 4 homogen vom zweiten Grade 
ist, so ergiebt sich hieraus unmittelbar: 
Eine Ebene schneidet im Allgemeinen die Regelschar 
in einer allgemeinen Curve der zweiten Ordnung. 
Hiervon überzeugen wir uns am einfachsten; indem wir diese 
Ebene zu einer Seitenebene des Fundamentaltetraeders annehmen. 
Wählen wir sie etwa zur Seitenebene x 4 = 0, so erhalten wir die 
Gleichung ihrer Schnittlinie mit der Regelschar, bezogen auf das in 
der Ebene gelegene Dreieck des Fundamentaltetraeders, § 37, 
wenn wir in der Gleichung der Regelschar x 4 — 0 setzen. Dieselbe 
ist aber nach x x , x 2i x 3 homogen vom zweiten Gerade. 
Hieraus schon folgt: 
Im Allgemeinen liegen auf einer Geraden nur zwei 
Puncte der Regelschar. 
Denn da eine Gerade eine Curve der zweiten Ordnung in höchstens 
zwei Puncten schneidet, so hat die Gerade mit der Schnittfigur der 
Regelschar und einer Ebene, die durch die Gerade gelegt wird, höchstens 
zwei Puncte gemeinsam. Es ergiebt sich dies auch daraus, dafs die 
Resultante aus einer nach den Coordinateli x x , x 2 , x 3 , x 4 homo 
genen quadratischen Gleichung und zweien nach diesen Gröfsen homo 
genen linearen Gleichungen, homogen vom zweiten Grade in zwei 
der Coordinateli x x , x 2 , x 3) x 4 ist. 
Hieraus können wir wieder zurückschliefsen, dafs die Schnittfigur 
der Fläche mit einer Ebepe eine Curve II. Ordnung ist. 
Wird jedoch diese Resultante durch mehr als zwei Werte des Ver 
hältnisses der beiden in ihr vorkommenden Coordinaten befriedigt, so 
verschwindet sie identisch und ihr wird also durch jeden Wert dieses 
Verhältnisses genügt. 
Also ; Schneidet ei ne Gerade drei Strahle nein er Re gel- 
schar, so schneidet sie die sämtlichen Geraden der 
S char. 
Nun lassen sich aber unendlich viele Gerade construieren, welche 
irgend drei gegebene Geraden schneiden. Denn die Schnittlinie je 
zweier entsprechender Ebenen der beiden projectivischen Ebeneu- 
büschel, deren jeder die Puncte einer und derselben der drei Geraden