§ 53. Fortsetzung. 
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Relation. Eliminieren wir nun vermittelst dieser eine derselben aus 
der Gleichung der Berührungsebene, so sind die Ebeneneoordinaten 
in derselben nach drei willkürlichen Gröfsen, den drei übrigen Coor- 
dinaten des Berührungspunctes, homogen und linear: sie stellt somit 
einen Strahlenbündel dar (§ 40). 
Und reciprok: Die Berührungspuncte der Berührungs 
ebenen, welche von einem Puncte aus an die Regelfläche 
gelegt werden, liegen in einem Kegelschnitte. 
Denn die Ebeneneoordinaten der Berührungsebene genügen daun 
einer linearen Relation. Da nun dieselben nach den Coordinaten des 
Berührungspunctes linear und homogen sind, so müssen auch diese 
eine lineare homogene Gleichung befriedigen, wie behauptet wurde. 
2) Aus diesem Doppelsatze und der früher erwiesenen Thatsache, 
dafs die Regelfläche eine Ebene in einem Kegelschnitte schneidet, 
fliessen unmittelbar die Fundamentalsätze aus der Theorie der Kegel 
schnitte. 
Zunächst ist der folgende Satz klar : 
Das Erzeugnis zweier projectivischer Strahlenbüschel 
ist ein Kegelschnitt der durch ihre Mittelpuncte hin- 
d urchgeht. 
Denn ziehen wir aus dem Mittelpuncte jedes der beiden Strahlen 
büschel eine Gerade, welche die andere nicht schneidet und projicieren 
aus jeder dieser Geraden als Axe den Strahlenbüschel, dessen Mittel- 
punct sie enthält, so sind die beiden so entstehenden Ebenenbüschel 
in Ansehung der Ebenen, welche entsprechende Strahlen der beiden 
Büschel projicieren, zu einander projectivisch und erzeugen also eine 
Regelfläche. Diese schneidet somit die Ebene in dem Erzeugnisse der 
beiden projectivischen Strahlenbüschel und dasselbe ist daher als 
die Schnittfigur der Regelfläche mit der Ebene ein Kegelschnitt. 
Die Umkehrung• dieses Satzes folgt aus der Thatsache, dafs durch 
jeden Kegelschnitt eine Regelfläche gelegt werden kann. Es läfst 
sich nämlich leicht eine Regelschar construieren, deren sämtliche 
Strahlen den Kegelschnitt und zwei willkürlich durch zwei Puncte 
des Kegelschnittes gezogene Leitstrahlen treffen. Sind 0 und 0' 
die beiden Puncte, aus denen wir zwei Gerade bezüglich g und g 
ziehen, die nicht in derselben Ebene liegen, so schneiden die Geraden, 
welche g und g und den Kegelschnitt treffen, die beiden Geraden g 
und g in zwei projectivischen Punctreihen. Denn suchen wir zu 
einem Puncte X von g den zugehörigen X' von g', so erhalten wir 
denselben, indem wir durch X und g' eine Ebene legen und den 
Punct, in welchem die Ebene den Kegelschnitt aufser 0' schneidet, 
mit X verbinden. Also entspricht dem Puncte X ein einziger Punct 
Esolierich, Einleitung i. d. anal. Geom. d. Kaum. 11