§ 54. Der Kegel und Ebenenbüschel der zweiten Ordnung. 165 
Eine Ebene schneidet den Kegel in einem Kegel 
schnitte, welcher in ein Linienpaar, oder eine Doppel 
linie zerfällt, sobald die Ebene durch die Spitze des 
Kegels geht. 
Der zweite Teil dieses Satzes, der unmittelbar aus dem ersten 
folgt, läfst sich auch mittelst der Gleichung des Kegels beweisen. 
Die Gleichung der Regelfläche war 
mE x E 2 — e 2 e;= 0. 
Die Regelfläche geht in einen Kegel über, sobald sich diese vier 
Ebenen in einem Puncte, also die Axen der beiden Ebenenbüschel 
(E X E 2 ) und (E X E 2 ) sich schneiden. Die beiden Ebenenbüschel haben 
also dann eine Ebene, die ihrer Axen gemeinsam. Wir wollen an 
nehmen, dafs diese Ebene, betrachtet als Ebene des ersten Büschels, 
die Ebene E x = 0 und als Ebene des zweiten die Ebene E 2 = 0 sei. 
Es besteht also dann eine Constante n, vermöge welcher 
E 2 = nE x . 
Die Gleichung des Kegels hat somit unter diesen Voraussetzungen 
die Form 
m n E x 2 — E. 2 E x — 0 . 
Geht nun eine Ebene E = 0 durch die Spitze des Kegels, so müssen 
drei Constante p 1; q 2 und p auffindbar sein, durch welche 
qE = QiE x -f- q 2 E 2 -j- E x 
wird. 
Die Coordinaten der Puncte, welche dem Kegel und dieser Ebene 
gemein sind, müssen somit den beiden vorstehenden Gleichungen ge 
nügen. Wir können jedoch die eine derselben durch jene ersetzen, 
welche mittelst Elimination der Gröfse E x gewonnen wird, also durch 
mE x nE { 2 — E 2 (pj E x -|- q 2 E 2 — E) = 0 , 
oder 
mnE, 2 — P| E x E 2 — p 2 jE' 2 2 -f- EE 2 = 0 . 
Verwandeln wir nun den Ausdruck 
mnE 1 2 — p } E x E 2 — p 2 -E 2 2 
in das Product 
(pE x -f- qE 2 ) (r E x -f- sE 2 ), 
so nimmt die obige Gleichung die Form an 
(pE x + qE 2 ) (rE x sE 2 ) -f- EE 2 — 0 . 
Somit gehören alle Puncte, deren Coordinaten dieser Gleichung und 
der Gleichung E = 0 genügen, der Schnittfigur der Ebene und des 
Kegels an. Es sind dies somit die Puncte der Durchschnittslinien der 
Ebene E — 0 mit jeder der beiden Ebenen 
p E x -f- qE 2 — 0 und rE x -(- sE 2 = 0.