170 II. Abschnitt. Achtes Capitel. Die Erzeugnisse zweier Grundgebilde. 
ehender Elemente derselben zusammen, die ent weder reell 
sind, oder sich in eines vereinigen, oder imaginär sind*). 
Wir sind hier wieder veranlagt, imaginäre Werte der Coefficienten 
und Veränderlichen bei geometrischen Untersuchungen zu berück 
sichtigen , und wollen wir nicht der Allgemeinheit der Untersuchungen 
und Sätze Eintrag thun, so sind wir, wie wir uns wiederholt über 
zeugt haben, genötigt dieselben ebenso wie die reellen in die geo 
metrischen Betrachtungen hineinzuziehen. Haben dieselben zwar kein 
anschauliches Substrat, so können wir doch analytisch mit ihnen 
alle Operationen so durchführen, als hätten wir es mit reellen Ge 
bilden zu thun. Ja durch Vereinigung verschiedener imaginärer Ele 
mente können reelle erzeugt werden, deren Bedeutung bei Ausschließung 
jener uns verloren ginge. 
§ 57. 
Die involntorisehe Lage. 
Die Lagebeziehung der Elemente zweier in einander liegenden 
projectivischen Grundgebilde verdient besondere Beachtung, wenn 
ihre Verwandtschaftsgleichung nach den beiden Parametern symme 
trisch ist. Dieselbe hat dann die Form 
aAA' + h (A -f A') + c = 0. 
Da die beiden einförmigen Grundgebilde in einander liegen, so können 
wir die Elemente jedes derselben auf dieselben Elemente ihres ge 
meinsamen Trägers U — 0 und V = 0 als Grundelemente beziehen. 
Die Gleichungen der beiden projectivischen Grundgebilde seien dann 
U -j- A V — 0 und U -f- A' V — 0 . 
Jedes Element des Trägers können wir nun in zweifacher Weise auf 
fassen: sowohl als Element des ersten, als auch des zweiten Grund 
gebildes. Ist a der Parameter, durch den das Element bestimmt 
wird und sehen wir es als Element des ersten Gebildes an, so er 
halten wir sein entsprechendes im zweiten Gebilde, indem wir aus 
der Verwandtschaftsgleichung das A' berechnen, das zu A = a ge 
hört. Ist derselbe A'^= ß, so ergiebt sich wegen der Symmetrie der 
Gleichung bezüglich A und A', für A = ß wieder A'= a. Somit: 
Jedem Elemente des Trägers der beiden in einander 
liegenden projectivischen Gebilde, mag man es als Element 
irgend welches der beiden Gebilde betrachten, entspricht 
immer ein und dasselbe andere Element des Trägers. 
*) Hieraus folgt unmittelbar, dafs jene Ebene, die durch die Spitze des 
Kegels geht, denselben in zwei reellen, zusammenfallenden oder imaginären 
Strahlen schneidet. Denn dieselben sind die Doppelstrahlen zweier concen- 
trischer Strahlenbüschel.