174 II. Abschnitt. Achtes Capitel. Die Erzeugnisse zweier Grundgebilde.
Die letzte noch unberücksichtigte Zusammenstellung ist derEbenen-
büschel und eine zu ihm projectivische Punctreihe. Bei derselben
entfällt offenbar die Frage nach dem Erzeugnis der beiden Gebilde
und wir können sie nur ersetzen durch die nach der Incidenz ent
sprechender Elemente.
Da nun der Ebenenbüschel auf dem Träger der Punctreihe eine
zu dieser projectivische Punctreihe projiciert, so liegen die Puncte,
welche Doppelpuncte dieser beiden Punctreiheu sind (§ 56) in den
entsprechenden Ebenen des Ebenenbüschels.
Ein Ebenenbüschel und eine zu ihm projectivische Punctreihe
haben zwei Paare incidenter entsprechender Elemente.
§ 60.
Übungen.
1) Die Mitte der beiden Doppelpuncte zweier in einander lie
gender projectivischer Punctreiheu ist die Mitte der Gegenpuucte der
beiden Punctreihen.
Aul. Ergiebt sich unmittelbar aus § 46 Aufgabe 1.
2) Die Gerade, welche den Winkel der beiden Doppelstrahlen
zweier concentrischer projectivischer Strahlenbüschel halbiert, halbiert
auch den von ungleichnamigen Schenkeln der beiden entsprechenden
rechten Winkel gebildeten Winkel.
Anl. § 46 Aufgabe 2.
3) Sind zwei projectivische Punctreihen involutorisch, so fallen
ihre Gegenpuucte zusammen. Bezeichnet man diesen Punct, den
Centralpunct der Involution, mit 0, und mit X und X' irgend ein
Paar conjugiert involutorischer Puncte, so ist
OX-OX'= Const.
Und umgekehrt: Sind die Puncte einer Geraden einander derart paar
weise zugeordnet, dafs sie dieser Relation genügen, so bilden sie
eine Involution, deren Centralpunct 0 ist.
4) Sind zwei projectivische Ebenenbüschel involutorisch, so fallen
die nicht entsprechenden Schenkel der beiden entsprechenden rechten
Winke] zusammen; bezeichnet man irgend einen derselben mit rund
mit £ und £' irgend ein Paar congujiert involutorische Ebenen, so ist
tan r£ tan 6%= Const.
Und umgekehrt: Sind die Ebenen eines Ebenenbüschels einander
derart paarweise zugeordnet, dafs sie dieser Relation genügen, so
bilden sie eine Involution.
