§ 60. Übungen. 
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5) Welche Bedingungsgleichung müssen die Parameter dreier 
Elementenpaare erfüllen, damit sie derselben Involution angehören? 
Anl. Sind A t , A/; A 2 , V; A 3 , V die Parameter dieser Elementenpaare, 
so ist die gesuchte Bedingungsgleichung 
üü ) Gi + Ai), 1 
^2 ^2 i (^2 ~F ^2)7 1 
*3 A3» (A3 + A 3 ), 1 
Durch Umformung dieser Determinante läfst sich die gesuchte Bedingungs 
gleichung in verschiedenen Formen darstellen. Multipliciert man diese Deter 
minante mit 
A,°, *2°, *3° 
= (t, A 2 ) (^2 A3) (A3 ^l) 
= 0, 
V, 
V, 
a 2 ‘, 
V. 
1 1 
A 3 
A 3 
so ergiebt sich: 
— z/ — (¿i — A 2 ) (A 2 A 3 ) (A3 A ( ) -j- (A ( A 2 ) (A 2 — A 3 ) (A3 — A 4 ) — 0 . 
Da nun z/ ungeändert bleibt, wenn man darin A, mit Af, oder A 2 mit A 2 ', oder 
A 3 mit A 3 ' vertauscht, so ergeben sich aus dieser Formel drei weitere Formeln. 
Wird die Determinante z/ mit 
(A, — A,') (A,'— m) (m — A,) 
multipliciert, so findet man 
(Ai — A 2 ) (Ai A 2 ) (Ai A 3 ) (Ai A 3 ) 
(Ai A 3 ) (Ai A 3 ) (Ai A 2 ) (A t ^-2) === D , 
aus welcher Formel sich zwei weitere durch Vertauschung der Indices 1 und 2 
oder 1 und 3 ergeben. 
TO°, 
70 
/4 , 
A/° 
to 1 . 
y 1 
A/‘ 
TO 2 , 
7 2 
Ai' 2 
6) Drehen sich n Seiten eines 
veränderlichen w-Seits um n feste 
Gerade, während (n — 1) Kanten 
desselben sich auf (n — 1) festen 
Ebenen des durch das w-Seit ge 
gebenen Strahlenbündels bewegen, 
so beschreibt die n te Kante eine 
Kegelfläche oder eine Ebene, 
wenn die n festen Geraden in 
einer Ebene liegen. 
Bewegen sich die n Kanten 
eines veränderlichen w-Kants in n 
festen Ebenen, während (n — 1) 
Seiten desselben sich um n — 1 
Strahlen des durch das w-Kant 
gegebenen Strahlenbündels drehen, 
so umhüllt die n ie Seite entweder 
eine Kegelfläche (Ebenenbüschel 
der zweiten Ordnung), oder einen 
Punct, wenn die n festen Ebenen 
sich in einer Geraden schneiden. 
7) Eine Ebene dreht sich um eine feste Gerade und ihre jedes 
maligen Durchschnittslinien mit zwei festen Ebenen werden mit einem 
Puncte durch Ebenen verbunden; welche Fläche bilden die Durch 
schnittslinien aller dieser Ebenenpaare? 
Wie lautet der reciproke Satz?