180 II. Abschnitt. Neuntes Capitel. Projectiv, Verwandtschaft der Grundgebilde. 
Wir ersehen hieraus, dais die Gerade 
S a 1 i l i Sa 2 i l i Sa 3 . l i 
i X l 
~VT ~ “üT 
(11.) 
und durch Entwickelung der Determinante in (7.) nach den Elementen 
der zweiten Zeile, dafs die Gerade 
E a x . l\ Sa 2 .1'. Sa 3 i l\ 
_* * ± (12.) 
r t — v 2 - v 3 
ein Träger des Elementes (7.) ist. Die Gerade (11.) ist aber das 
dem Elemente ü i -f- ü 2 l 2 -f- Z7 3 A 3 = 0 und die Gerade (12.) das 
dem Elemente ü x lÜ 2 A 2 '-|- U 3 X 3 — 0 entsprechende Element des 
anderen Grundgebildes. Das Element (7.) hinwiederum ist das der 
durch die beiden Elemente (5.) bestimmten Geraden entsprechende 
Element der Verwandtschaft; da wir dieselben Überlegungen an den 
Gleichungen (8.), (9.) und (10.) wiederholen lassen, so erhalten wir 
den Satz: 
„Die durch die Gleichung (2.) zwischen den Elementen der 
beiden Grundgebilde der zweiten Stufe hergestellte Beziehung ist 
derart, dafs jedem U-Elemente des 'ersten oder V-Elemente des 
zweiten Grundgebildes im anderen Grundgebilde eine Gerade ent 
spricht, und dafs jedem Elemente, welches von derselben getragen 
wird, eine Gerade entspricht, welche das der ersten Geraden ent 
sprechende Element trägt u . 
Offenbar gilt auch die Umkehrung: 
Sind die Elemente zweier Grundgebilde der zweiten Stufe 
l x TJ X -f- ¿2 ü 2 + ¿3 U s = 0 und \ V l -f- & 2 ü 2 + h U 3 = 0 
einander derart zugewiesen, dafs jedem Ü-Elemente des ersten oder 
V-Elemente des zweiten Grundgebildes im anderen Grundgebilde eine 
Gerade entspricht, so sind die Parameter der Grundgebilde durch 
eine nach denselben lineare Gleichung mit einander verknüpft; denn 
die Gleichung, welche die Parameter der beiden Grundgebilde ver 
bindet, mufs für jede bestimmte Wertgruppe , A 2 , A 3 eine lineare 
Relation zwische'n Jc t) & 2 , & 3 und für jede Wertgruppe , h 2 , Jc 3 eine 
lineare Relation zwischen /L 1; A 2 , A 3 ergeben. 
2. Zu denselben Ergebnissen gelangen wir durch die folgende Be 
trachtung, der wir wieder die beiden U- Elemente des ersten Grund 
gebildes 
ü üi + ¿ 2 Ü 2 + Agüg = 0 und Vi/j + Vü 2 + A 3 'U 3 = 0 (5.) 
zu Grunde legen wollen. Diese beiden Elemente bestimmen eine 
Gerade, und jedes U-Element unseres Grundgebildes, das von dieser 
Geraden getragen wird, mufs eine Gleichung von der Form haben