§ 62. 
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stimmten linearen Relation, und umgekehrt, alle [/-Elemente des 
ersten oder F-Elemente des zweiten Grundgebildes,' deren Parameter 
eine lineare Relation befriedigen, bestimmen eine Gerade. Sind 
nämlich etwa 
Aj C/j -f- A 2 ücy -f- A3 i/g = 0 und A| TJ^ -(- A., JJ 2 -J- A3 t/3 = 0 
zwei ü-Elemente des ersten Grundgebildes, so wird die Gleichung 
jedes [/-Elementes der Geraden, die durch diese beiden Elemente be 
stimmt ist, * 
a \ Ui K 2 ^2 “1“ a 3 ^3 ~ 0 > 
sich vermöge zweier Constante p. und p/ auf die Form bringen lassen: 
(ß Ai -f- ft A t ) U i -f- (fi A 2 -j- p. A 2 ) U 2 -j- (fr A 3 -f- A 3 ) £/3 = 0. 
Es mufs daher 
a l : a 2 : cc 3 = (jaA t -f ¿FA/) : (i^ A 2 -j- fFA 2 ') : (i*A 3 + fFA 3 '), 
woraus sich zwischen « t , ß 2 und « 3 die lineare Relation ergiebt 
(A 2 A3 A3 ^2) -f - ^2 (A3 ^1 A3 Aj) -j- ß 3 (Aj A 2 A 2 Aj j 0 . 
Umgekehrt liegen die [/-Elemente, deren Parameter der linearen 
Relation 
«! -f- cc 2 A 2 -f- ß 3 A 3 = 0 
genügen, in der Geraden 
u 1= u 3 = u A 
«1 <*2 a 3 
Sollen daher den [/- Elementen des ersten oder F- Elementen des 
zweiten Gruudgebildes, die von einer Geraden getragen werden, re- 
spective F-Elemente des zweiten oder [/-Elemente des ersten Grund- 
gebildes zugeordnet werden, welche wieder in einer Geraden liegen, 
so mufs jede lineare Verbindung zwischen den Parametern des einen 
Grundgebildes — vermöge der beiden Relationen, welche die Para 
meter der beiden Grundgehilde mit einander verknüpfen, — wieder eine 
lineare Verbindung zwischen den Parametern des anderen Grund 
gebildes nach sich ziehen. Ist also a i Jc i -f- cc 2 Jc 2 -f- a 3 Jc 3 — 0 eine 
derartige lineare Verbindung zwischen den Parametern des einen 
Grundgebildes, so müssen die Ausdrücke für ^ und ~, welche sich 
aus den beiden Relationen zwischen den*Parametern der beiden Systeme 
ergeben, diese Verbindung wieder in eine nach A,, A 2 , A 3 lineare 
überführen. Dies ist aber offenbar nur möglich, wenn Zähler und 
Nenner jedes dieser Ausdrücke nach A,, A 2 , A 3 blofs linear ist und 
überdies die Nenner gleich sind. Also haben diese beiden Relationen 
— die Verwandtschaftsgleichungen — die Form