§ 63. 
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§ 63. 
In den beiden vorhergehenden Paragraphen haben wir erkannt, 
dafs wir auf zwei Arten eine eindeutige Beziehung zwischen den 
Elementen zweier Grundgebilde der zweiten Stufe herstellen können. 
Bei der einen wurden die Parameter der beiden Grundgebilde durch 
eine nach ihnen lineare Relation mit einander verknüpft, bei der 
anderen wurden die Verhältnisse der drei Parameter des einen den 
Verhältnissen dreier linearer homogener Ausdrücke aus den Parametern 
des anderen Grundgebildes gleichgesetzt. Geometrisch unterschieden 
sich diese beiden Arten der eindeutigen Venvandtschaft dadurch, dafs 
bei der zweiten Art einer Geraden des einen Grundgebildes wieder 
eine Gerade im anderen Grundgebilde zugewiesen ist, während bei der 
ersten Art dies nicht der Fall ist. 
In der Geometrie wird jedoch die Einteilung dieser eindeutigen 
linearen Verwandtschaft zwischen Grundgebilden der zweiten Stufe 
aus einem anderen Gesichtspuncte vorgenommen, wonach unterschieden 
wird, ob die beiden Grundgebilde der zweiten Stufe, zwischen deren 
Elementen eine eindeutige Beziehung hergestellt werden soll, gleich 
artig — also zwei Strahlenbündel oder zwei ebene Systeme, — oder 
ungleichartig — ein Strahlenbündel und ein ebenes System — sind. 
Ist die eindeutige Beziehung zwischen den Elementen zweier gleich 
artiger Grundgebilde von der Art, dafs einer Geraden des einen 
eine Gerade des anderen Grundgebildes entspricht, so werden sie 
collinear, anderen Falls reciprok zu einander genannt; ist hingegen 
diese Beziehung zwischen den Elementen zweier ungleichartiger 
Grundgebilde von der Beschaffenheit, dafs einer Geraden des einen 
wieder eine Gerade des anderen Grundgebildes entspricht, so werden sie 
reciprok und andernfalls collinear genannt. Die Collineation zweier 
gleichartiger Grundgebilde der zweiten Stufe wird somit definiert 
durch ein System zweier derartiger linearer homogener Gleichungen 
zwischen den Parametern der beiden Grundgebilde, dafs aus denselben 
das Verhältnis der drei Parameter des einen Grundgebildes sich durch 
das Verhältnis dreier nach den Parametern des anderen Grundgebildes 
linearer homogener Ausdrücke darstellen läfst; die Collineation zweier 
ungleichartiger Grundgebilde wird durch eine nach den Para 
metern der beiden Gruudgebilde lineare und homogene Gleichung 
ausgedrückt. Die Reciprocität zweier gleichartiger Grundgebilde 
der zweiten Stufe wird hergestellt durch eine nach den Parametern 
der beiden Gruudgebilde lineare homogene Gleichung; die zweier 
ungleichartiger Grundgebilde durch zwei nach ihren Parametern 
lineare und homogene Gleichungen von der früher angegebenen Be 
schaffenheit.