§. 6f. Die Erzeugnisse reciproker Gnmdgebilde der zweiten Stufe. 193 
anderen V 0 = V 4 = V 2 — 0 wird, also die Determinante (11.) verschwin 
det. Jede Gerade schneidet diese Fläche im Allgemeinen in zwei Puncten, 
wovon wir uns am einfachsten überzeugen, indem wir dieselbe zu 
einer Kante des Fundameutaltetraeders machen. Um die Coordinaten 
ihrer Durchschnittspuncte mit der Fläche zu finden, müssen wir dann 
in der Gleichung der Fläche zwei der Coordinaten x n x 2 , x 3 , x 4 
gleich Null setzen, wodurch zur Bestimmung des Verhältnisses der 
beiden anderen Coordinaten eine quadratische Gleichung sich ergiebt. 
Von jeder Ebene wird die Fläche im Allgemeinen in einem 
Kegelschnitte geschnitten, wovon wir uns wieder am einfachsten 
überzeugen, indem wir sie zu einer Ebene des Fuudamentaltetraeders 
machen. Wir erhalten nämlich die Gleichung des Schnittes der Fläche 
mit einer Seitenebene des Tetraeders, indem wir in der Gleichung 
der Fläche eine der Coordinaten gleich Null setzen (§ 37). 
2) Die allgemeinste Form einer Gleichung zweiten Grades, 
und somit einer Fläche zweiter Ordnung zwischen den Coordinaten 
x 4 , x 2 , x 3 , x 4 ist offenbar: 
x \ {^n x \ J rCL n x 2 -\-a n x i -\- a H x 4 )-\-x 2 
+%(«31 «i+«32^2+%3%+ a 3Ä) + x M 44 x 4 -\-a 42 x 2 ^-a 43 x 3 ^ r a 44 x^=0, 
worin a ik — a ki ist. Es läfst sich nun leicht zeigen, dafs jede der 
artige Fläche durch zwei reciproke Bündel erzeugt werden kann. 
Verlegen wir zunächst eine der Ecken des Fundameutaltetraeders, 
etwa x x = 0, x 2 = 0, x 3 — 0 in einen Punct der Fläche. Dann 
mufs der Gleichung derselben durch das Wertsystem x { — 0, x 2 = 0, 
x 3 — 0 genügt werden, was nur möglich ist, wenn a 44 — 0 ist. Be 
zogen auf ein Fundamentaltetraeder, dessen eine Ecke in der Fläche 
liegt, hat also die Gleichung der Fläche die Form: 
Xy { a \\ x \~\~ a \ 2 x 2 -\- a x3 x. s -j-2 a x4 x 4 )-{- x 2 {a 24 x 4 -\-a 22 x 2 -\-o 23 x 3 -f- 2a 24 'x 4 ) 
+ ^3 («31'^1 + a n X 2 + «33% + 2 «34^4) = 0 • 
DurchVergleichung mit (12.)finden wir, dafs dieselbe aus EA ik Vi U k — 0 
ik 
hervorgeht, indem A ü — 1, A } -* = 0; U x = x 4 , U 2 = x 2 , U 3 = x 3 , 
ferner 
a iX 'x 1 -j- a i2 x 2 -f- a 43 'x 3 -(- 2a i4 x 4 — V 4 
»21'^1 + a 22 X 2 + a 2i X 3 + 2 «24^4 = K 
a 3l' x i H" »32^2 + a 33 x 3 + %0 J34 X 4 — F 3 
angenommen wird. In Form einer Determinante geschrieben ist die 
Gleichung dieser Fläche: 
Escherich, Einleitung i. d. anal. Geom. d. Raum. 13 
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