§ 65. Involutorische Strahlenbiindel. 
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jìj = Emaki; x 2 = Em i2 k 2 ; 
i i 
x 3 = Em i3 k 3 . 
i 
Berechnen wir aus diesen Gleichungen k v , k 2 , k 3 und substituieren 
deren Werte in § 64 (2.), so erhalten wir die Verwandtschaftsgleichung, 
welche die beiden Grundgebilde für U i — 0, U 2 — 0, U 3 = 0 als 
Grundelemente reciprok auf einander bezieht. 
Nachdem wir nun die beiden reciproken Grundgebilde von irgend 
welchem Tripel von Elementen auf jedes andere Tripel als Grund 
elemente beziehen gelernt haben, wollen wir voraussetzen, dafs für 
ü { — 0, U 2 — 0, U 3 = 0 als Gruudelemente die beiden Grundgebilde 
der zweiten Stufe : 
A, U t + l 2 U 2 + l 3 U 3 = 0 und k { U x + k 2 ü 2 -f k 3 U 3 = 0 
durch die Gleichung 
. E Q/fx v k v — 0 
fxv 
reciprok auf einander bezogen seien. 
Schneidet im Falle, dafs beide reciproke Strahlenbündel concen 
triseli sind, eine Gerade ihre entsprechende Ebene aufser im Mittel- 
puncte des Strahlenbündels noch in einem weiteren Puncte, so er 
halten wir die Coordinaten dieses Durchschnittspuuctes einer Ebene 
des ersten Bündels mit einer Geraden des zweiten durch Bestimmung 
der Verhältnisse von x 2 , x 3 , x 4 aus den vier Gleichungen 
A, ü l + A 2 ü 2 -J- A 3 U 3 — 0 ; 
Eau^i — qU] — 0 ; 
i 
Ea 2i l t — qU 2 = 0] 
i 
Ea 3i li — qü 3 — 0 . 
i 
Berechnen wir aus den drei letzten dieser Gleichungen qU { , qU 2 , 
qU 3 , so ergiebt die Substitution dieser Werte in die erste Gleichung 
die Bedingung, welcher die A,, A 2 , A 3 genügen müssen, damit diese 
vier Gleichungen durch dieselben drei Werte von U\, ü 2 und U 3 
befriedigt werden können. Jede Ebene des Bündels also, deren Pa 
rameter Aj, A 2 und A 3 dieser nach A t , A 2 , A 3 quadratischen Bedingungs 
gleichung genügen, wird somit von ihrer entsprechenden Geraden 
aufser im Mittelpuncte des Bündels noch in einem weiteren Puncte 
geschnitten, enthält also dieselbe. Wir erkennen somit, dafs in den 
beiden concentrischen Bündeln unendlich viele Gerade verkommen, 
deren jede in ihre entsprechende Ebene fällt. Die Coordinaten eines 
jeden Punctes einer solchen Geraden genügen nun der Gleichung (11.)