§ 68. Die Erzeugnisse zweier collinearer Grundgebilde der zweiten Stufe. 203 
gemeinsam. Durch die anderweitigen Durchschnittspuncte je zweier 
dieser Regelflächen geht aber auch die dritte hindurch. 
Um dies klar zu machen, setzen wir der Kürze halber 
V i z'a n U i — V 3 i:a i iU i = B i 
T r 2 ZdnUi — U] Zd i2 Ui EEE B 2 
V 3 EaaUi — V i UüisUi = B 3 . 
i i 
Dann ist: 
B^ Uan TJi —(— B 2 ^ &i2 Ui = jRß Z di $ TJi. 
Es verschwindet somit R 3 für die Coordinaten jedes Punctes, der 
den Regelflächen B { = 0 und B 2 == 0 gemeinsam und nicht in der 
Ebene Za i3 Ui = 0 gelegen ist. Die Durchschnittspuncte der Regel- 
i 
fläche B ] — 0 und B 2 — 0, welche in der Ebene Zdi 3 Ui — 0 ent- 
i 
halten sind, liegen aber, wie die Gleichungen dieser Regelflächen 
unmittelbar zeigen, alle in der diesen beiden Regelflächen gemein 
samen Geraden 
F 3 = 0, Zd i3 Ui = 0, 
i 
womit die obige Behauptung erhärtet ist. 
Wir können aber offenbar jedes der drei Verhältnisse in (11,), 
abgesehen von einem gemeinsamen Factor, durch das der linken Seite 
der Gleichungen irgend zweier entsprechender Ebenen der beiden 
Strahlenbündel ersetzen. Denn sind m l , m 2 , m 3 irgend drei Con 
stante, so ist jedes dieser Verhältnisse gleich 
wi F| 4- tw 2 F g -f m 3 V 3 
m i Ea n U i + m i Sa i2 U i + m^Sa^Üf ' 
i i i 
Der Ebene m l V i -f- m 2 V 2 -f- m 3 F 3 — 0 des zweiten Bündels entspricht 
aber (6.) im ersten Bündel die Ebene 
m l ZdnUi -f- m 2 Zd i2 Ui -f- m 3 Za i3 üi = 0 . 
i i i 
Sind daher F — 0, Q = 0 und B — 0 die Gleichungen dreier Ebenen 
des ersten und F'— 0, Q' = 0, R'=0 jene der ihnen bezüglich 
entsprechenden Ebenen des zweiten Bündels, so stellen die Gleichungen 
P p' = 0. = r jg > (13-) 
wo p, q, r von den Gleichungen der Ebenen abhängige Constante 
sind, den geometrischen Ort der Durchschnittspuncte je zweier ent 
sprechender Strahlen der beiden Bündel dar. Jede dieser Gleichungen 
repräsentiert eine Regelfläche, von denen die eine oder auch alle 
Kegelflächen sein können, und von denen je zwei sich in einer Ge-