§ 71. Die Raumcurve und der Ebenenbüschel der dritten Ordnung. 211 
in eine Gerade und einen Ebenenbüschel der zweiten Ordnung, dessen 
MitteIpuuct jener Punct ist. 
Haben die beiden collinearen Systeme zwei Puncte ihrer Schnitt 
linie entsprechend gemein, so zerfällt der Ebenenbüschel der dritten 
Ordnung in drei Gerade, von denen die eine die Schnittlinie der beiden 
Systeme ist, während jede der beiden anderen durch einen der beiden 
sich selbst entsprechenden Puncte der Schnittlinie hindurchgeht. 
Liegen auf der Schnittlinie der beiden collinearen Systeme drei 
sich selbst entsprechende Puncte der beiden Systeme, so haben sie 
die beiden Punctreihen auf der Schnittlinie gemeinsam; dann liegen 
je zwei entsprechende Gerade der beiden ebenen Systeme in einer 
Ebene, und alle diese Ebenen sowohl als auch die Verbindungslinien 
je zweier entsprechender Puncte gehen durch einen Punct des Raumes. 
Nennen wir nun zwei collineare ebene Systeme, bei denen die Verbindungs 
linien entsprechender Puncte sich in einem Puncte vereinigen, per 
specti vis ch, so haben wir den Satz: 
Haben zwei collineare ebene Systeme eine Punctreihe 
entsprechend gemein, so liegen sie perspectivisch. 
Haben endlich die beiden collinearen ebenen Systeme drei Puncte 
ihrer Ebenen entsprechend gemein, so fallen sie in einander. Die 
beiden Systeme besitzen dann drei Doppelpuncte und somit auch 
drei Doppelgerade. In jeden dieser beiden Tripel von Doppelele 
menten ist mindestens ein Element reell; die beiden anderen sind in 
beiden Tripeln gleichzeitig reell oder imaginär und werden stets 
von den reellen Elementen des anderen Tripels getragen 
Zwei in einander liegende collineare ebene Systeme 
haben drei Doppelpuncte und drei Doppelgeradeu, von 
welchen mindestens ein Doppelpunct und eine Doppel 
gerade reell ist. 
§ 71. 
Die Raumcurve und der Ebenenbüscliel der dritten Ordnung. 
Die Raumcurve und der Ebenenbüschel der dritten Ordnung stehen 
nicht allein einander reciprok gegenüber, sondern auch noch in einer 
anderen engen Beziehung, welche wir nunmehr erörtern wollen. Zu 
nächst soll aber aus der Entstehungsweise der beiden Gebilde (§ 68 
und § 70) eine neue analytische Repräsentation derselben hergeleitet 
werden, bei welcher Ableitung wir aber nur das eine der beiden Ge 
bilde zu berücksichtigen brauchen, da die für das eine gewonnenen 
Resultate sich nach dem Gesetze der Reciprocität auf das andere 
werden übertragen lassen. 
Wir wollen etwa die Raumcurve der dritten Ordnung unserer 
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