§ 77. Gleichungen in Ebenencoordinaten. 
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am anschaulichsten und klarsten gestalten, wenn wir mit den vor- 
zustellendeu Gebilden die reciproken in die Betrachtung hineinziehen. 
I. Wir beginnen wieder mit dem Falle, dafs eine einzige Gleichung 
f{u 4 , u 2 , u 3 , u 4 ), = 0 in Ebenencoordinaten gegeben sei. Denken 
wir uns die Ebenen, deren Coordinateli dieser Gleichung genügen, 
als in einem räumlichen Systeme 2J gelegen und dieses reciprok auf 
ein anderes U' bezogen, so wird jeder dieser Ebenen ein Funct in 2J' 
entsprechen. Die Coordinaten jedes dieser Puncte werden einer be 
stimmten Gleichung in Punctcoordinaten F\x 4 , x 2 , x ä , x±) genügen, 
die wir erhalten, indem wir in f{u i} u 2 , u 3 , u 4 ) die u vermöge der 
Yerwandtschaftsgleichungen eliminieren. Die Gesamtheit der Puncte, 
welche in 2J' den Ebenen f(u 4 , u 2 , u 3 , u 4 ) = 0 entsprechen, bilden 
somit eine Fläche: F'{x x , x 2 , x 3 , x 4 ) = 0. Da jedem Puncte P der 
Fläche F'= 0 eine Ebene E von f=0 entspricht, so entspricht der 
Berührungsebene E' in P' an F’ ein Punct P in 2J. Diese Puncte 
folgen nun continuierlich auf einander, da die Berührungsebenen an 
die Puncte der Fläche F' = 0 continuierlich auf einander folgen, 
also bilden sie selbst wieder eine Fläche: F (#,, x 2 , x 3 , x 4 ) = 0. 
Jeder Punct derselben kann aber als der Durchschnittspunct dreier 
unmittelbar benachbarter Ebenen von f {u 4 , u 2 , u 3 , u 4 ) — 0 aufge- 
fafst werden, da die Berührungsebene E' in P' an F' als die Yer- 
biudungsebene dreier unmittelbar benachbarter Puncte der Fläche 
F'—O erscheint. Somit berühren die Ebenen f{u 4i u 2i u 3 , u 4 ) =0 
oder umhüllen die Fläche F 0. Wir haben also: 
Die Ebenen, deren Coordinaten einer Gleichung ge 
nügen, berühren oder umhüllen eine bestimmte Fläche. 
Ist die Gleichung in den Ebenencoordinaten vom n ien Grade, 
so wird die Fläche von der n icn Classe genannt. Durch 
jede Gerade des Raumes gehen daun im Allgemeinen n Be 
rühr un gs ebenen an die Fläche n [cr Classe, und in jedem 
Puncte bilden sie einen Kegel der w lcn Classe. 
Die Ebenen, deren Coordinaten der gegebenen Gleichung genügen 
und durch eine bestimmte Gerade gehen, erhalten wir, indem wir 
das System der drei homogenen Gleichungen, von denen zwei die 
beiden Gleichungen der Geraden und die dritte die gegebene Gleichung 
in Ebenencoordinaten ist, auflösen. Die Resultante aus diesen drei 
Gleichungen ist nun homogen nach zweien der Ebenencoordinaten 
vom w ten Grade. Die Ebenen, deren Coordinateli der gegebenen 
Gleichung genügen und gleichzeitig durch einen gegebenen Punct 
gehen, umhüllen offenbar ebenfalls eine Fläche, welche aus den Durch- 
schuittslinien je zweier nächst benachbarter dieser Ebenen gebildet 
wird. Sie ist somit eine sog. geradlinige Fläche, deren alle Geraden