234 II. Abschnitt, Elftes Capitel. Collineation u. Reciprocität räuml. Systeme. 
Puncten, in den entsprechenden Puncten, geschnitten. Fallen zwei oder 
mehrere dieser Schnittpuncte zusammen, so fallen auch die entspre 
chenden Puncte im anderen Systeme zusammen. Berührt daher eine 
Gerade die eine Fläche, so berührt die entsprechende Gerade die ent 
sprechende Fläche in den entsprechenden Puncten. Also entspricht 
jeder Tangente an die eine Fläche wieder eine Tangente an die ent 
sprechende Fläche, somit auch jeder Bertthrungsebene wieder eine 
Berührungsebene. Besitzt die eine Fläche gerade Linien, so enthält 
die andere ebenso viele gerade Linien; geht die eine mehrmals durch 
eine Curve, so geht die andere ebenso oft durch die entsprechende 
Curve etc. 
Analoges gilt für Curven. Verbindet eine Gerade oder Ebene 
zwei oder drei Puncte der einen Curve, so verbindet die entsprechende 
Gerade, resp. Ebene die entsprechenden Puncte. Einer Tangente, 
Berührungsebene oder Schmiegungsebene der einen Curve entspricht 
daher auch die Tangente, resp. Berührungs- oder Schraiegungsebene 
im entsprechenden Puncte an die entsprechende Curve. Gehen daher 
durch einen Punct des einen Systems n Berührungsebeneu oder Schmie 
gungsebenen an die eine, so gehen durch den entsprechenden Punct 
ebenfalls n, resp. Berührungs- oder Schmiegungsebenen an die ent 
sprechende Curve. Schneidet eine Ebene die eine Curve in n Puncten, 
so schneidet die entsprechende Ebene die entsprechende Curve in den 
n ensprechendeu Puncten, wodurch wieder die Behauptung des obigen 
Satzes dargethan ist. 
Collineare Gebilde können sich aber wesentlich hinsichtlich ihrer 
unendlich fernen Elemente unterscheiden, indem im Allgemeinen den 
unendlich fernen Puncten des einen Systems eigentliche Puncte im 
anderen Systeme entsprechen. Denn die unendlich fernen Puncte des 
einen Systems liegen in der Ebene 
D\Xi + A^2 ~h D,x, -f- D 4 x i = 0, 
welcher im Allgemeinen nicht wieder die Ebene 
A £i + A £2 + A £3 + A £4 = 0 
entspricht. 
Die Ebene nun, welche in dem einen Systeme der unendlich fernen 
Ebene des anderen Systems entspricht, wird die Gegen ehe ne jenes 
Systems genannt. Jedem Puncte dieser Ebene entspricht im anderen 
Systeme ein unendlich ferner Punct; dem Strahlenbündel, der von 
diesem Puncte getragen wird, ein Parallelstrahlenbündel; einem 
Bbenenbüschel, dessen Axe in dieser Ebene liegt, ein Parallelebenen- 
büschel. Schneidet oder berührt eine Curve oder Fläche die Gegenebene, 
so schneidet oder berührt auch das entsprechende Gebilde die unendlich 
ferne Ebene; jeder Tangente oder Berührungsebene in einem dieser