238 II. Abschnitt. Zwölftes Capitel. Das Erzeugnis zweier collinearer Systeme.
Gleichung z/ (p) — 0 geführt, so zwar, clafs jede Wurzel derselben
eine Doppelebene bedingt. Die Coordinateu u { , « 2 , w 3 , u x derselben
sind dann wieder durch die Proportion gegeben
u { : u 2 : : u x = z/ a ; z/ i2 : ¿/¿3 : ^¿4 (II.)
Es bestimmt somit jede Wurzel dieser Gleichung sowohl einen Doppel-
punct, als auch eine Doppelebene der beiden collinearen räumlichen
Systeme. Wegen dieses Zusammenhanges werden wir bei den fol
genden Betrachtungen nur das System I. berücksichtigen.
Im Allgemeinen besitzen also zwei collineare Systeme vier Doppel
elemente, da die Gleichung z/(p) = 0 vom vierten Grade. Von diesen
Doppelelementen müssen aber keineswegs alle reell sein, sondern es
können auch blos zwei reell und die beiden anderen imaginär oder
alle vier imaginär sein, da die Gleichung z/(p) = 0 vier reelle oder
zwei reelle und zwei coraplexe oder endlich vier complexe Wurzeln
besitzen kann.
Sind alle Doppelemente reell, so bilden dieselben offenbar die
vier Eckpuncte und Seitenflächen eines Tetraeders. Wählen wir
dasselbe zum Fundamentaltetraeder, so vereinfachen sich die obigen
Collineationsgleichungen in:
9», = n hSi; ; q^3 == W G^3; q x * = m x^»
wo m x , m 2 , m 3 , ni x Constante bedeuten. Denn nur bei dieser Form
der Verwandtschaftsgleichungen entspricht dem Puucte einer Seiteu-
ebene des Fundamentaltetraeders wieder ein Punct dieser Ebene.
§ 81.
Fortsetzung.
Wir wollen nun einige specielle Fälle, die sich aus den Formeln
(III.) ergeben, etwas näher erörtern. Wie diese Formel lehrt, ist
die Berechnung von x x : x 2 : # 3 : x x nur möglich, wenn für die betref
fende Wurzel die Subdeterminanten der Elemente einer Zeile der
Determinante z/(p) nicht sämtlich verschwinden, wodurch die Berech
nung aus
x 4 — zJ xl ;
: ^12 :
; z^ 13 :
1 ^14
11
>
; z/ 22 :
: z/ 23 :
’ ^24
= 4n
: ^32 1
: ^33 '
: ^34
= z/ 4 1:
: z/ 42 :
; z/ 4 3;
; z/ J4
nicht mehr statthaft wäre.
(III.)
Es läfst sich nun leicht zeigen, dafs diese sämtlichen Subdetermi
nanten dritten Grades von z/(p) verschwinden, wenn drei derselben,
von denen keine zwei derselben Reihe angehören, für den betreffenden
Wurzel wert Null werden.
