§ 80. Doppelelemente zweier collinearer Systeme. 
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Zunächst ist klar, dafs, wenn für eine Wurzel der Gleichung 
z/(p) — 0 überdies eine Subdeterminante dritten Grades von z/(p) 
verschwindet, dies auch der Fall ist mit einer der beiden Reihen 
Subdeterminanten, welche Elementen angehören, die mit jenem in 
derselben Zeile oder Colonne stehen. Nehmen wir etwa d ik — 0 an, 
so ergiebt sich dies unmittelbar aus dem Gleichungssysterae 
Kt — q) dn -j- a n d i2 -f- ciy A d i3 -j~ — 0 
«21 “h («22 — Q) "j" «23^*3 “f" <*24^/¿4 = 0 
«31 ^«1 "h «32^*2 -j- («33 — (>) d13 -f- «34du — 0 
«41 du -j“ «42^*2 ~h «43 d i3 + («44 Q) du — 0 , 
welches wegen da = 0 nach blofs drei der Gröfsen d iX , z/ i2 , z/ t -3, du 
homogen ist. Es können somit diese Gleichungen nur neben ein 
ander bestehen, entweder für d iX — d i2 = ¿/¿3 == d u = 0 oder, wenn 
die Determinante je dreier der obigen vier Gleichungen verschwindet, 
d. i. für d xk = d 2k = d 3k — z/44,. = 0. 
Aus dem obigen Gleichungssysteme folgt ferner, dafs, wenn zwei 
der Subdeterminanten d iX , z/, 2 , z/ i3 , d iX verschwinden und keine 
Subdeterminante zweiten Grades von z/(p) für den betreffenden 
Wurzelwert Null werden soll, diese sämtlichen Subdeterminanten 
verschwinden müssen. Wenn also in d{g) = 0 die zwei Elementen 
derselben Reihe angehörigen Subdeterminanten verschwinden, so 
findet dies auch mit den Subdeterminanten sämtlicher Elemente dieser 
Reihe statt. Hiermit ist aber unsere obige Behauptung erwiesen. 
In diesem Falle mufs jene Wurzeider Gleichung z/(p) = 0 eine 
Doppelwurzel derselben sein, denn, da 
^ = ~ (^11 + ^23 + ^33 + ^44) 
ist, so verschwindet für jenen Wert von q auch —• 
Eine weitere Consequenz unserer Annahme und der Voraussetzung, 
dafs mit den Subdeterminanten dritten keine zweiten Grades ver 
schwinden, ist, dafs von den vier Gleichungen (I.), welche zur Bestim 
mung der Verhältnisse x { :x 2 :x 3 :x 4 dienen, je zwei eine Folge der 
beiden anderen sind. Um z. B. aus den beiden ersten Gleichungen 
die dritte abzuleiten, multiplicieren wir die erste mit der Subdeter 
minante von («,, 
«o, in 
= 0, 
und addieren die beiden so transformierten Gleichungen. Mittelst der 
bekannten Formeln, welche die Elemente einer Reihe mit den Sub- 
11 ~ 
9)» 
und die zweite 
mit der 
«it — 
Q, 
«12’ 
«13 
^44 
= 
«21; 
«22 
- Q, 
«23 
«31 7 
«32 7 
«33 Q