240 II. Abschnitt. Zwölftes Capitol. Das Erzeugnis zweier collinearer Systeme. 
determinanten derselben oder einer parallelen Reihe verbinden, er- 
giebt sich aus z/ 44 =s 0 und ¿/ 43 == 0, dals die so aus (I.) gewonnene 
Gleichung identisch ist mit 
[«31 ¿»I + «32^2 + («33 — Q)%3 + «34 ^ 4 ] = 0 • 
In ganz derselben Weise können wir mit Benutzung von z/ 33 = 0 
und z/ 34 = 0 zeigen, dafs auch die vierte Gleichung des Systems I. 
eine Folge der beiden ersten ist. Da also in diesem Falle jede der 
beiden letzten Gleichungen des Systems durch Addition der mit ge 
wissen constanten Factoren multiplicierten beiden ersten Gleichungen 
gewonnen werden kann, so schneiden sich die vier Ebenen, die durch 
die Gleichungen des Systems III. bestimmt werden, in einer Geraden, 
und es sind also die sämtlichen Puncte dieser Geraden Doppelpuncte 
der beiden collinearen Systeme. Wir gelangen also zu dem Ergebnisse; 
„Verschwinden für einen Wurzel wert der Gleichung = 0 
die Subdeterminauten dreier Elemente, von denen keine zwei dersel 
ben Reihe angehören, so verschwinden alle Subdeterminanten 3 lc “ Grades 
dieser Determinante und es ist jene Wurzel eine Doppelwurzel der biqua- 
dratischen Gleichung z/(p) = 0. Die Doppelpuncte der beiden colli 
nearen Systeme, welche durch diese Wurzel bestimmt werden, bilden 
eine Punctreihe.“ Die beiden anderen Wurzeln der Gleichung z/(p) =0 
können entweder von einander verschieden sein, in welchem Falle 
die Doppelwurzel reell sein mufs, oder sie sind selbst wieder ein 
ander gleich. 
Im letzteren Falle bilden also die Doppelpuncte der beiden colli 
nearen Systeme zwei Punctreihen, deren Träger reell oder imaginär 
sind, je nachdem die beiden Doppelwurzeln der biquadratischen 
Gleichung reell oder conjugiert imaginär sind. Es schneidet dann 
die Schnittlinie je zweier entsprechender Ebenen und die Verbin 
dungslinie je zweier entsprechender Puncte der beiden collinearen 
Systeme diese beiden Geraden, und es sind somit die Schnittlinien 
entsprechender Ebenen und die Verbindungslinien entsprechender 
Puncte sich selbst entsprechende Gerade der beiden collinearen Sy 
steme. Der erste Teil dieser Behauptung ist evident; der zweite Teil 
ergiebt sich, indem wir von irgend einem Puncte des Raumes eine 
Gerade ziehen, welche die beiden sich selbst entsprechenden Punct 
reihen schneidet. Da diese Gerade eine sich selbst entsprechende 
Gerade ist, — weil sie zwei Doppelpuncte der beiden collinearen 
Systeme verbindet, — so entspricht jedem ihrer Puncte wieder ein 
auf ihr gelegener Puuct. Wir können dieser Thatsache auch die 
Fassung geben: 
«12 7 
«13 
«22 — 
- Q, «23