§ 83. Ferspectivische collineare Systeme.
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¿4 {q) Null werden. Es ist klar, dafs diese Multiplicität der Wurzel
als eine Folge des letzteren Umstandes aufgefafst werden kann, des
Verschwindens sämtlicher Subdeterminanteu zweiten Grades der Deter
minante z/(p).
Wir gelangen also durch diese Erörterungen zu folgendem Er
gebnisse :
„Ein involutorisches System ist entweder ein geschart-iuvolu-
torisches System oder es wird die Beziehung zwischen seinen Elementen
durch vier Gleichungen hergestellt, deren Coefficienten so beschaffen
sind, dafs für eine Wurzel der Gleichung z/(p) = 0 die sämtlichen
Subdetermiuanten zweiten Grades der Determinante ¿/(p) verschwinden.“
Wir werden auf diese Weise zur Untersuchung des Falles hin
gelenkt, dafs die sämtlichen Subdeterminanten zweiten Grades der
Determinante ¿/(p) verschwinden, welcher Fall übrigens auch me
thodisch der früher erörterten Annahme sich auschliefst, dafs die
sämtlichen Subdetermiuanten dritten Grades der Determinante A(p)
für eine Wurzel der Gleichung z/(p) = 0 verschwinden.
Die zweite Art involutuorischer Systeme wird offenbar alle Eigen
schaften teilen mit den Systemen, deren collineare Beziehung durch
vier derartige Gleichungen bestimmt wird.
§ 83.
Ferspectivische collineare Systeme.
Damit für einen Wurzel wert p der Gleichung
z/(p)
«11 —
«12 »
«13»
a ]
«21 »
«22 ~
~ 9>
«23 »
a.
«31 5
«32 »
«33 "
- i>»
«■
«41 ;
«42 t
«43 »
«44
—
14
24
34
= 0
die sämtlichen Subdetermiuanten zweiten Grades der Determinante
z/(p) verschwinden, genügt es, wenn neun derartige Subdetermiuanten,
von denen keine vier aus Elementen derselben zwei Reihen gebildet
sind, Null werden. Denn aus je drei Subdeterminanten zweiten
Grades, welche aus den Elementen derselben beiden Reihen herge
stellt werden, ergeben sich, wenn sie verschwinden, die weiteren
drei, welche aus den Elementen derselben Reihe gebildet werden
können, gleich Null.
Als Folge dieser Voraussetzung ergiebt sich aus den verschwinden
den Subdeterminanteu, dafs für den betreffenden Wurzelwert a die
Proportionen gelten:
\'jt
