250 II. Abschnitt. Zwölftes Capitol. Das Erzeugnis zweier collinearer Systeme. 
Jede Ebene des Raumes, aufgefafst als Ebene des einen Systems be 
stimmt in der einen dieser Ebenen einen Punct und schneidet die 
andere in einer Geraden, Jeder Ebene des durch diese Gerade be 
stimmten Ebenenbüschels, aufgefafst als Ebene des einen Systems, 
entspricht nun ein und derselbe Punct. Denn sind u 1} u 2 , u z , u x die 
Coordinaten einer Ebene des Ebenenbüschels, desse Axe in E liegt, 
so lassen sich die Coordinaten jeder anderen Ebene desselben in der 
Form darstellen Xu k -j- ^A ik , wo A und g Constante sind und 1c alle 
Werte von 1 bis 4 annimmt; somit bestimmen diese Ausdrücke aus den 
Yerwandtschaftsgleichungen dieselben Punctcoordinateu, wie die Ebene 
m, , u 2 , u z , u 4 . Auf diese Weise ist also jedem Puncte des einen der 
beiden Systeme E oder E' eine Gerade des anderen zugewiesen, und 
diese beiden reciproken Systeme erzeugen die obige Fläche der 
zweiten Classe. 
Diese Fläche der zweiten Classe schrumpft offenbar in eine Curve 
der zweiten Classe zusammen, wenn a ik = a k i. Denn dann fallen 
die beiden Ebenen E und E' zusammen und diese Doppelebene trägt 
somit zwei reciproke Systeme, die involutorisch liegen, da jeder 
Ebene ein und derselbe Punct zugeordnet ist. 
„Verschwindet die symmetrische Determinante 27-f- a u a 22 a 33 a 4i , 
so stellt die Gleichung 
EdikUiUk = 0 
eine Curve zweiter Classe dar, deren Ebene die Coordinaten -¿t, = A u , 
u 2 — Am, tf.j = A 3 1, u 4 = Au besitzt.“ 
b) Sind die gegebenen Verwandtschaftsgleiclmngen 
ÖVi — Ectik^k, 
so folgt aus ihnen nur noch das Gleichungssystem 
(? Ui — E a k i£k . 
Die Ebenen des einen Systems, welche Puncten des anderen ent 
sprechen, schneiden sich sämtlich in einem Puncte. Dic Puncte des 
ersten Systems bestimmen den Punct A u , Am, A 3i , A 4i , die des 
zweiten den Punct A a , A i2 , A i3 , A i4 . 
Die Puncte der beiden Systeme, deren jeder in seiner entspre 
chenden Ebene des anderen Systems liegt, erfüllen eine Fläche der 
zweiten Ordnung: 
EaikXiX k = 0, 
welche auch die beiden Puncte enthält, deren jeder durch die Puncte 
eines der beiden Systeme bestimmt wird. Dieselben lassen sich als die 
Mittelpuncte zAveier reciproken Strahlenbündel ansehen, welche die 
obige Fläche erzeugen, da den Puncten eines Strahles des einen 
Bündels im anderen Systeme stets dieselbe Ebene entspricht.