§ 86. Die Fläche der zweiten Ordnung,
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Polarebene, so werden die Coordinaten des Durchschnittspunctes dieser
Geraden mit der Fläche die Form haben Xi = A|h -f- y,y{. Hierin
sind A und y aus der Bedingung zu bestimmen, dafs die Coordinaten
des Punctes die Gleichung 2JuikXiX k — 0 befriedigen sollen. Sub
stituieren wir sie hierin, so erübrigt wegen (1.) zur Bestimmung von
A und y die Gleichung
P2Ja ik ii
ik
s k + p 2 2 dikViVk — 0 ;
ik
woraus sich
p.. l
für —
die beiden Werte +
V-
? a ikViVk
IJk
ergeben.
Dieselben lehren, dafs die Gerade die Fläche in zwei Puncten schneidet,
welche den Pol vom Durchs chnittspuncte mit der Polarebene harmo
nisch trennen.
Mittelst des Gesetzes der Reciprocität folgt hieraus wie oben:
Legt mau aus einer Geraden einer Ebene Tangentialebenen
an die Fläche, so trennen dieselben die Ebene harmonisch von
ihrem Pol.
Ist in dem obigen Ausdrucke
± = +
V-
2' a ikVi Vk
i k
^ a ik t 7-
ZttikViVk = o, sind also y i , y 2 , y%, y A die Coordinaten eines Durch-
i k
schnittspunctes der Polarebene mit der Fläche, so wird A = 0 und
somit Xi — yy i} d. h. die beiden Durchschuittspuncte der Geraden
mit der Fläche fallen in einen einzigen zusammen und es berührt
daher die Gerade die Fläche. Somit:
Die Berührungspunkte sämtlicher Tangenten, die von
einem Puncte an eine Fläche der zweiten Ordnung gelegt
werden können, liegen in der Polarebene dieses Punctes,
Hieraus folgt reciprok :
Die Berührungsebenen, welche längs einer ebenen
Curve an eine Fläche der zweiten Ordnung gelegt werden,
schneiden sich irp,Pole dieser Ebene.
Die gewonnenen Sätze zeigen klar, dafs die in diesem Para
graphen definierten Gebilde unabhängig sind von der Auffassung der
Fläche der zweiten Ordnung als Ordnungsfiäche eines Polarsystems,
und dafs sie mit dieser aus ihren eben entwickelten Eigenschaften
construiert und daher auch definiert werden können. Sie werden also
auch für die Fläche der zweiten Ordnung gelten, die nicht als Ord
nungsfläche eines Polarsystems dargestellt werden kann, für die Kegel
fläche, wie dies die Entwicklungen des § 84, 11) unmittelbar zeigen.
Bscherich, Einleitung in d. anal. Geom. d. Kaum. 17