260 TI. Abschnitt. Zwölftes Capitel. Das Erzeugnis zweier collinearer Systeme. 
messerebene die Fläche schneidet, bestimmen mit dem conjugierten 
Durchmesser derselben zwei ^¡eitere Durchmesserebenen, deren jede 
auf ihrem conjugierten Durchmesser senkrecht steht. 
Jeder dieser Durchmesser wird eine Axe der Fläche der zweiten 
Ordnung genannt. Somit: 
Eine Fläche der zweiten Ordnung hat im Allgemeinen 
drei zu einander rechtwinklige Axen. 
Ausnahmsfälle treten ein, wenn der Kegelschnitt, dessen wir 
uns oben zur Construction der beiden anderen Axen mittelst der 
ersten Axe bedienten, ein Kreis oder eine Parabel wird. Ist er ein 
Kreis, so findet sich zu jedem Durchmesser des Kegelschnittes ein 
conjugierter zu diesem senkrechter. Es ist also dann jede Durch 
messerebene, welche durch die schon gefundene Axe gelegt wird, 
senkrecht zu ihrem conjugierten Durchmesser. Die Fläche der zweiten 
Ordnung besitzt also in diesem Falle eine Axe, welche einen Büschel 
von Durchmesserebenen trägt, deren jede auf ihrem conjugierten 
Durchmesser senkrecht steht. Jede Ebene, welche der Ebene dieses 
Durchmesserbüschels parallel ist, schneidet die Fläche in einem Kreise, 
da in der Schnittcurve der zweiten Ordnung der Büschel con 
jugierter Durchmesser der Curve ein rechtwinkliger ist. Die Mittel- 
puncte aller dieser Kreise liegen auf jener Axe der Fläche der zweiten 
Ordnung. 
Die Fläche ist also in diesem Falle eine Rotations 
fläche der zweiten Ordnung und jene Axe die Rotationsaxe. 
Ist der zur Axenconstruction benützte Kegelschnitt eine Parabel, 
so liegt sein Mittelpunct und daher auch jener der Fläche in der 
unendlich fernen Ebene, und somit berührt diese Ebene, da sie durch 
ihren Pol geht, die Fläche. 
Eine Fläche der zweiten Ordnung, welche die unend 
lich ferne Ebene berührt, wird ein Paraboloid genannt. 
Im Paraboloid sind also sämtliche Durchmesser ein 
ander parallel. 
Ein Paraboloid hat sonach nur eine Hauptaxe. 
In derselben liegen die Mittelpuncte sämtlicher Kegelschnitte 
der Fläche, deren Ebene zur Richtung der Durchmesser senkrecht ist. 
Wir haben hiernach drei Arten von Flächen der zweiten Ordnung 
unterscheiden gelernt: Flächen mit einem endlichen Mittelpuncte, 
Paraboloide und Rotationsflächen. 
Die Flächen mit einem endlichen Mittelpuncte werden nach 
ihrer Lage gegen die unendlich ferne Ebene wieder eingeteilt in: 
Ellipsoide und Hyperboloide. 
Unter einem Ellipsoid wird eine Fläche der zweiten Ordnung