§ 88. Lhis Nullsystem. 261
verstanden, welche mit der unendlich fernen Ebene keinen Puuct
gemeinsam hat.
Hyperboloid wird eine Fläche der zweiten Ordnung genannt,
welche die unendlich ferne Ebene schneidet.
Mitten innen steht die Gattung der Paraboloide, welche die un
endlich ferne Ebene berühren.
Die Hyperboloide und Paraboloide können olfenbar auch ge
radlinige Flächen sein.
Das geradlinige Hyperboloid wird einfaches, das Hyperboloid,
welches keine geraden Linien enthält, zweifaches oder zweischaliges
Hyperboloid genannt. Das geradlinige Paraboloid heilst hyperbolisches
und dasjenige, welches keine Geraden enthält, elliptisches Paraboloid.
Eine Abart des einfachen Hyperboloids ist endlich die Kegel-
fläche, deren Spitze gleichzeitig ihr Mittelpuuct ist.
§ 88.
Das Nullsystem.
Die beiden quadratischen Formen, § 84, die gleich Null gesetzt
das Erzeugnis der beiden reciproken Systeme darstellen, verschwinden
identisch, wenn «¿¿. = — au und au — 0, also die Determinante
U + « 11; a 22 , « 33 , « 44 eine schief symmetrische ist. Die reciproke
Beziehung der beiden Systeme wird somit durch die Gleichungen
ausgedrückt:
== * a i‘> u 2 4~ «13 u :i 4" «14 u \
Q X.) = — «j 2 U\ 4" * 4- «23 «3 4- «24 «1
QX3 = — «13 U i + «23 U 2 4" * 4“ «34 u \
QX4 == «14 Wj 4" «24 «2 «34 «3 4- * )
wo , x 2 , x. s , £C 4 die Coordinaten eines Punctes des ersten und u lf
u 2 , m 3 , die Coordinaten der entsprechenden Ebene des zweiten
Systems bezeichnen. Sind nun £,, | 2 , § 3 , | 4 die Coordinaten eines
Punctes des zweiten, und v l} v 2l v 3 , v 4 die der entsprechenden Ebene
des ersten Systems, so hängen dieselben, § 84, durch die Gleich
ungen mit einander zusammen:
= * «12 V 2 4" «13 V ‘i 4" «14 V i
i>§2 = «12 V \ 4“ * 4" «23 4“ «24 V i
— «13 V 1 4~ «23 V 2 4“ * 4“ «34 V i
Q%i = — «14 Vi — «24 V 2 — «34 V 3 4- * •
Diese Gleichungen lehren, dafs unter den gemachten Voraussetzungen
jeder Punct in seiner entsprechenden Ebene liegt und jedem Puncte
stets ein und dieselbe Ebene, sowie dafs jeder Ebene stets derselbe
