266 li. Abschn. Dreizehntes Capitel. Substitution u. Coordinatentransformation.
ausgesetzten Greisen x eine Relation hergestellt würde und die Gleich
ungen (1.) nach den | uicht auflösbar wären.
Die durch das zweite Gleichungssystem angegebene Substitution
steht zu der ersten in der Beziehung, welche durch den Namen
der transponierten Substitution gekennzeichnet wird. Diese
Transposition eines Substitutionssystems besteht darin, dais in dem
ursprünglichen Substitutionssysteme die gleichvielteu Zeilen und
Colonnen mit einander und — im vorliegenden Falle — die x~ durch
die neuen und die £-Coordinateli durch die ursprünglichen Ebeuen-
coordinaten. ersetzt werden. In der That sind die u Coordinateli einer
Ebene des ¿r-Systems und die v jene einer Ebene des ¿--Systems.
Durch Auflösung der obigen Gleichungen fliefsen unmittelbar die
inversen Substitutionen
= A¡ X X X -f” -d-21 X 2 4~ ^3Í X 3 4“ -^41 X 4
QÌ2 = ^-12 X \ “1“ ^22 X 2 4“ ^.30^3 4“ ^~42 X 4
i>^3 = ^-13 X \ + J ^-23 X 2~\~ -^-33 X 3 4" ^-43 X 4
= ^14 X l 4“ ■^’24 X 2 4“ ^31 X 3 4“ ^44 X 4
und
GU 1 = ^11®1 4“ -d-t2 V 2 + ^13 V 3 4“ ^I4 V 4
G U 2 = ^21 V 4 4“ -d-22 V 2 4" d-23 V 3 4“ ^24 V 4 .
GU 3 — J ^3\ V \ 4“ ^32 V 2 4“ -^33^3 4“
ÖU A — Ä 41 V t 4" ^42 V 2 4~ -^43^3 4“ ^-44 ^4 ,
wo A ik die Subdeterminante des Elementes a ik in 2J + a ll} a 22 , a 33 ,
a l4 bezeichnet. Um die geometrische Bedeutung der in den obigen
Substitutions-Gleichungen auftretenden Substitutions-Coefficienten zu
eruieren, setzen wir in dem Gleichungssysteme (1.) £ 2 = £ 3 = £ 4 = 0,
wodurch wir für die ursprünglichen Coordinateli dieses Puñetes er
halten
Xy1 \ oo^ \ x ¿y —— ; ciy j . et 2[ • a 31 • ct^y •
Für = £ 3 = |; 4 = 0 finden wir
Xy • 00*2 • * 00^ — dy2 • CC22 • ^32 * ^42 ?
für = |; 2 = £4 = 0
00y • X2 • £3 • X L y a V0 • ex23 » 6^331 ti L y3 y
endlich für £, = £ 2 = = 0
x x : x 2 : x 3 : x x — a u : a 2i : a 3i : a 4i .
Die neuen Coordinaten | 1; £ 27 £ 3 , £ 4 eines Puñetes erscheinen somit
unter den gemachten Voraussetzungen, bezogen auf ein neues Tetraeder
als Fuudamentaltetraeder ; dessen Ecken bezüglich des ursprünglichen
Fundamentaltetraeders die Coordinaten besitzen:
