268 li- Abschn. Dreizehntes Capitel. Substitution u, Coordinatentransformation. 
Die Ebenencoordinaten u, v, tv einer Ebene hinwiederum sind mit 
ihren homogenen u l} v 2 , %, u 4 durch die Gleichungen verbunden: 
<j u 4 = A x u —JJ x v —f- CJ X w 4~ t 
6u 2 = A 2 u —(— B 2 v —)— w —j— B 2 ! ,,, 
öu 3 = A 3 u -)- JB’ 3 v -f- C 3 w + D 3 j ’ 
(3U 4 = A 4 u -f B 4 V + C 4 w -f B 4 ] 
wenn wir die Subdeterminante irgend eines Elementes der Deter 
minante 2J + a { , h 2} c 3 , d 4 mit demselben Index und denselben Buch 
staben des grofsen Alphabets bezeichnen. 
Aus den obigen Gleichungssystemen ergiebt sich wieder: 
A l x¡ -1- A 2 x 2 + A 3 x 3 -f A. t x 4 
CIj Vsy —j— Ci2^2 "”f“ C h U 3 “f” Ct^'H 1 
D x x¡ -)- D 2 x 2 -)- D 3 x 3 -)- I) 4 x 4 
l> l x¡ -)- i> 2 x 2 -f- JB 3 x 3 -(- Ji 4 x 4 
d\Vj\ —{— d<¿Vj2 —J— do it 3 —|— cl^ti^ 
„ 0 l u i -|- h 2 U 2 + h U 3 “h b 4 M 4 
’ D x x¡ -f- T> 2 x 2 Z> 3 x 3 4- x 4 
C\ x, -f- C 2 x 2 + G 3 x 3 -(- C 4 x 4 
~|~ ¿12 / M'2 ”f” dg ttg *“[“ d^ 
K C, Ul + c 2 u 2 + C 3 U 3 + c 4 u 4 
x¡ D 2 x 2 -(- D 3 x 3 -f- T) 4 x 4 
dpi t 4- d 2 u 2 4- d 3 u 3 4- d 4 u 4 
Sind somit £ 4 , | 2 , | 3 , £ 4 die Coordinateli irgend eines Puñetes, bezogen 
auf ein zweites Tetraeder als Fundamental-Tetraeder, JO y 00 t) j 00^ y 
dessen Coordinateli bezüglich des ersten Fundamental-Tetraeders und 
x, y, z seine rechtwinkligen Coordiiiaten, so erhalten wir die Be 
ziehung zwischen den homogenen x- und ^-Coordiiiaten dieses Puñetes, 
indem wir in den Formeln, welche die £ 1; £ 2 , £ 3 , £ 4 durch die recht 
winkligen Coordiiiaten x, y, s ausdrücken, für letztere ihre Werte 
aus (7.) substituieren. Es wird also, wie behauptet wurde, die Be 
ziehung zwischen den homogenen x~ und £-Coordinaten durch vier 
Gleichungen von der Form (1.) ausgedrückt, und es besteht somit 
die Transformation der Puiictcoordiuateu von einem Pundamental- 
tetraeder auf ein anderes in einer linearen Substitution, deren Coefli- 
cienten die im vorhergehenden Paragraphen ausgeführte Bedeutung 
haben. Der Übergang von den Ebenencoordinaten des ursprünglichen 
zu denen des neuen Tetraedersystems wird, wie aus 
u x x x -j- u 2 x 2 + *11^ 00 ^ + u 4 x 4 
= V l il + V 2 £2 + V ‘¿ £3 + V 4 £4 
hervorgeht, durch die transponierte Substitution bewerkstelligt. 
Aus den Formeln zur Transformation der Punct- und Ebeneu- 
coordinaten ergeben sich auch die Ausdrücke zur Transformation der 
Liniencoordinaten. Sind x x , x 2 , x 3f x 4 und y x , y 2} y 3 , y 4 die ursprüng 
lichen Coordinateli zweier Puñete, und bezüglich | l5 £ 2 , £ 3 , £ 4 und 
rj [ , t] 2} r¡ 3) rj 4 deren neue Coordiiiaten, so geht vermöge (1.) der 
Ausdruck pi k = Xi ijk — x k y 4 über in 
03 Pik =7C \2 (. a H a k2 — UizClkl) -f- TT 2 3 ( a i2^k3 — a i32) ~f~ #34 — $¿1 (¿k‘à) 
-f- JT 14 («¿\il k 4 — dußkl) “1“ \ (^¿2^*4 — Uiißk2) T~ ^34 ifliZ Uki — <^¿iUk 3) ,