270 II. Abschn. Dreizehntes Capitel. Substitution u. Coordinatentransformation. 
a x TI -f- a 2 V -)- a 3 W 
d { ü -|- d 2 V -(- d 3 W 1 
&, U+ \V+ h 3 W 
^ U+ d z V + d 3 W+ 1 
_ c, U+ c 2 F -f- c 3 W 
d t U -f- d 2 V -)- d 3 W -f- 1 , 
(9.) 
Wie die Gleichungen (8.) den Übergang von den Punctcoordinaten 
eines rechtwinkligen Systems zu einem beliebigen Parallelcoordinaten- 
Systeme vermitteln, so dienen ebenso gebildete Gleichungen mit ver 
änderten Coefficienteu zur Transformation von rechtwinkligen in ein 
beliebiges anderes Parallelcoordinaten - System. Setzen wir nun in 
diesen beiden Systemen von Transformationsgleichungen die Ausdrücke 
für x, y und s einander gleich, so erhalten wir drei lineare Gleich 
ungen zum Übergang von dem einen zu dem anderen Parallelcoor- 
dinaten-Systeme. Aus den Auflösungen dieser Gleichungen nach den 
Coordinaten desselben Systems gehen wieder Gleichungen der Form 
(8.) hervor. Dieselben Überlegungen lassen sich bezüglich der Ebenen- 
coordinaten anstellen und wir gelangen zur Erkenntnis, dafs die Trans 
formation der Coordinaten eines Parallelcoordinaten-Systems in ein 
anderes durch Gleichungen von der Form (8.) und (9.) bewerkstelligt 
wird. Wir wallen nun vorerst den allgemeinen Fall voraussetzen, 
die Gleichungen (8.) seien die Transformatiousformeln von einem 
schiefwinkligen Coordinatensysteme in ein beliebiges anderes schief 
winkliges Coordinatensystem und wollen unter dieser Annahme die Be 
deutung der zwölf in (8.) auftretenden Constanten zu ermitteln suchen. 
Zu diesem ßehufe setzen wir zunächst x = 0, y — 0, z = 0, 
wodurch wir für die Coordinaten des Aufangspunctes des Systems 
Xi y, 8 in dem Systeme X, Y, Z erhalten x — cl { , y = cl 2 , 8 — d 3 . 
Es bedeuten also die Constanten d x , d 2 , d 2 in (8.) die Coordinaten 
des Anfangspunctes des Systemes x, y, 8 im anderen Systeme. 
Setzen wir nun für X — d x , Y — d 2 , Z — d 3 bezüglich X, Y, Z, 
so verlegen wir hiermit nur den Anfangspunkt des Systemes XYZ 
in den Ursprung des Coordinatensystems x y 8, während wir die 
Richtungen seiner Axen ungeäudert lassen. Durch diese Veränderung 
des Anfangspunctes gehen die Gleichungen (8.) über in 
X = ci x x —J— h x y —(— c x 8 | 
Y = a 2 x -f- h 2 y -J- c 2 8 | • (10.) 
Z = d 2 x ~(— y —}— c 2 8 J 
Es dienen also diese Formeln zur Transformation der Coordinaten 
eines Parallelcoordinaten-Systemes in die eines beliebigen anderen 
Parallelcoordinaten-Systeraes mit demselben Anfangspuncte.