§ 91. Transformation der Parallelcoordinaten.
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Um die geometrische Bedeutung der in den Gleichungen (10.)
vorkommenden neun Constanten zu ermitteln, welche dieselben sind
wie in den Gleichungen (8.), bestimmen wir die Coordinateli irgend
eines Punctes in der x-Axe des Systems x y z. Fällen wir von dem
selben Senkrechte auf die (II)-, (XX)- und {YZ)-Ebene und be
zeichnen die Winkel, welche die x-Axe mit diesen Ebenen bildet,
bezüglich mit {x, Ih), (x, XZ), (x, YZ), so sind die Senkrechten
respeetive gleich:
x sin (x, XY)\ x sin (ìc, XZ); x sin (x, YZ).
Ziehen wir durch den Punct x, y = 0, z = 0 Parallele zur X-,
Y- und X-Axe, so sind diese Parallelen bezüglich die X-, Y- und
X-Coordinate dieses Punctes und wir erhalten daher für die obigen
Senkrechten andererseits die Ausdrücke
0
X sin (X, X Y); Y sin (Y, IX); Xsin (X, YZ).
Die Vergleichung dieser Ausdrücke ergiebt für den betreffenden Punct
X _ sin (x, TZ), Y __ sin (x, XZ) ■ £ = sin (x,XY) _
x sin {X,YZ)"' 1 x sin (Y,XZ)'^ x sin (Z,XY)
Da aber für diesen Punct y — z = 0 ist, so erhalten wir aus (10.)
- = a t
a 2 ;
= a
es ist daher
sin (x, Y Z)
a ' = sin (X, YZ) 5
a 0 —
sin (x, X Z)
sin (Y, XZ) ’
«o =
sin (x, X Y)
sin \z~X Y)
Wir finden demnach, dafs die neun Coefficienten in (8.) oder (10.)
die folgende geometrische Bedeutung haben:
sin (x, XY) 1
sin {Z, X Y)
sin jy,XY) m s
sin (Z,XYj C
sin (z, X Y)
sin [Z, X Y) 4
Aus diesen Formeln ergiebt sich für den Fall, dafs das Coordinaten-
system XYZ rechtwinklig ist,
a i — cos (x, X); a 2 = cos (x, Y); a 3 = cos (x, X) |
b, = cos (y, X); h 2 = cos {y, Y) ; h s = cos (y, X) ; (IT.)
c, — cos (z, X) ; c 2 == cos (0, Y); c 3 — cos (0, X) j
die neun Constanten sind dann nicht mehr von einander unabhängig,
denn es bestehen zwischen denselben nach § 3 die Gleichungen
sin [x, Y Z)
" ' = sin (X, YZ) 5
7 _ sin (y. YZ ) .
1 sin (X, YZ) ’
sin (0, YZ)
r ' ~ sin~(X7YZ) ’
__ sin (x, XZ) '
2 ~ sin (Y,XZ) ’ W ' 3
7 __ sin (y, XZ) m 7
■* ~ sin (Y, XZ) ’ 3
_ sin (z,XZ) '
° 2 ~~ sin(Y. XZV 3
