§ 91. 
Transformation rechtwinkliger Coordinaten. 
273 
A- 
ä 2 = 
A = 
= Aa x , B, = Aby, 
= Aa 2 , B 2 — Ab 2 , 
- Xa 3 , i) 3 = A b S) 
Cy = A Cy | 
G 2 = A c 2 | • 
C 3 ==* A j 
(17.) 
Die erste Relation finden wir, indem wir die erste Gleichung in (12.) 
mit A x , die erste in (14.) mit B t und die zweite mit C x multipli eieren 
und diese Gleichungen addieren. 
Aus denselben Gleichungen gehen durch eine ähnliche Behand 
lung die drei Relationen der ersten Colonne von (17.) hervor. Aus 
der zweiten Gleichung des Gleichungssystemes (12.) in Verbindung 
mit der ersten und dritten Gleichung in (14.) erhalten wir auf die 
selbe Weise die Relationen der zweiten Colonne in (17.), und endlich 
fliessen aus der letzten Gleichung in (12.) und den beiden letzten in 
(14.) die Relationen der letzten Colonne in (17.). 
Multiplicieren wir nun jede der Gleichungen (17.) mit demselben 
kleinen Buchstaben, der auf ihrer rechten Seite steht, so erhalten wir 
durch Additon der in derselben Zeile stehenden drei Gleichungen 
die Relationen (15.). Der bekannte Satz aus der Theorie der Deter 
minanten, dafs das Aggregat der Producte aus den Elementen einer 
Reihe mit den Subdeterminanten der Elemente einer parallelen Reihe 
verschwindet, liefert angewandt auf die Relationen in (17.) die 
Gleichungen (16.), womit unsere frühere Behauptung gerechtfertigt ist. 
In analoger Weise, lassen sich aus den Gleichungen (15.) und (16.) 
die Gleichungen (12.) und (14.) ableiten. Eine lineare Substitution 
(10.) von der Art, dafs zwischen den Coefficienten derselben die sechs 
Gleichungen (12.) uud (14.), und infolge dessen die Gleichungen (15.) 
und (16.) bestehen, oder umgekehrt die Gleichungen (15.) und (16.) 
und infolge dessen die Gleichungen (12.) und (14.) stattfinden, nennt 
man eine orthogonale Substitution. 
Geometrisch gedeutet transformiert dieselbe die Coordinateli eines 
rechtwinkligen Coordinatensystems in die Coordinaten eines neuen 
abermals rechtwinkligen Systems. Denn da nach der Bedeutung dieser 
Constanten (11.) 
cos (xy) — üyby -f- a 2 b 2 + « 3 &3 — 0 
cos (oce) = dyCy -J- a 2 c 2 -f- a 3 c 3 = 0 
cos (yz) =b x Cy -j- b 2 c 2 + & 3 c 3 = 0 
cos (X Y) = a x a 2 -f- + c \ c 2 — 0 
cos (XX) = a x a d -f- b x b 3 c, c 3 — 0 
cos (EX) = cLtfCi^ —|— b.)b% -j- ^2^3 0 , 
so ist 
^ X y = ^ X 0 = ^yz^=^:XY=^XZ = <)c Y Z = 90°, 
Es eli eri eli, Einleitung i. d. anal. Geom, d. Baum. 18