I. Abschnitt. Erstes Capitel. Einleitung. 
tan ip 
r = y X 
. y 
X 
:i + y 2 + * 
sin Cp 
yX* + y 1 A Z' 1 
Auch hier gelten die früher in Betreff der Winkel tf und co ge 
machten Bemerkungen für die Winkel cp und ip. 
§ 6- 
Übungen. 
1) Ein Punct C teilt die Strecke AB im Verhältnisse von 
m :n\ es sind die Parallelcoordinaten des Teilungspunctes C durch 
die von A und B auszudrücken. 
Au fl. Sind x t , 2/i» die Coordinaten von A\ x 2 , y 2 , z 2 die von JB, so 
sind die Coordinaten x, y, z von C: 
mx 2 -f- nx t 
my 2 + ny t 
tn z 2 -j- n z¡ 
w-f« ’ a »i-f« 1 m -p n 
Man erhält diese Relationen z. B. die letzte aus dem Trapeze, das zu seinen 
parallelen Seiten die Coordinaten z v und z 2 besitzt, in dem also z eine zu diesen 
Parallele durch C ist. 
2) Sind A x , A 2 , A 3 drei Puncte bezüglich mit den Coordinaten 
x i y l z i , x 2 y 2 z 2 , imc l teile B die Entfernung A y A 2 im Ver 
hältnisse A y B : BA 2 — ni : n, ferner C die Strecke A 3 B im Ver 
hältnisse A 3 G : CB — p : q, so sind die Coordinaten x, y, z des 
Punctes C durch die von A y A 2 A 3 auszudrücken. 
Durch wiederholte Anwendung dieser Formeln erhält man: 
a) Die Geraden, welche die Mittelpuncte der gegenüberliegenden 
Kanten eines Tetraeders verbinden, halbieren sich in demselben Puncte. 
Die x-Coordinate des Mittelpunctes der Kante x l y t z i , x 2 y 2 z 2 ist ^(¿c, -j- x 2 ), 
die jener der gegenüberliegenden Kante x 3 y 3 z a , x 4 y 4 z 4 : 4{x 3 -)- x 4 ); die ir-Coor- 
dinate des Mittelpunctes der Verbindungslinie dieser beiden Puncte ist daher 
1‘Cu + x i + x 3 “h *4)- Dieselben Coordinatenwerte erhält man für den Mittel- 
punct jeder anderen derartigen Geraden. 
ß) Ist A 1 A 2 A 3 A 4 ein windschiefes Viereck und teilt C t die 
Strecke A y A 2 , C 2 die Strecke A 3 A 4 im Verhältnisse 
A x C y : C y A 2 — A 3 C 2 : C 2 A 4 = m : n, 
ebenso JD y und B 2 bezüglich die Strecken A y A 3 und A 2 A 4 im Ver 
hältnisse . ^ t-. , . , 
A x B 4 : B y A 3 — A 2 B 2 : B 2 A 4 — p : cp, 
so schneiden sich die Geraden Ü l 6' 2 und B 4 B 2 . 
Sind £ 2 i £/ und | 2 ' die x- Coordinaten bezüglich von C7,, C 2 , D, und 
Z) 2 , so findet man 
2Si+l>l* + m | 2 ' 
p A 9 m A n 
Es schneiden sich also die Geraden C l ü 2 und T)\T> 2 in einem Punkte, dessen 
Coordinaten x, y, z sind: 
V