280 li. Abschn. Dreizehntes Capitel. Substitution u. Coordinatentransformation. 
"4" ^21^ “1“ «31 2 === k^ «11 «12 *4“ «¿1«22 “4“ «31 «32 ===r Ü 
a i2 2 4 a 22 2 4 a 32 2 — «11 «13 "4“ «21 «23 4* «31 «33 = 0 
«I3 2 4“ a 32 2 4“ a 33 2 ~ № «12 «13 4“ «22 «23 4* «32 «33 — 0 , 
woraus sich, wie in § 92, Relationen zwischen den a aufstellen lassen. Zwei 
derartige Systeme, in denen das Verhältnis entsprechender Strecken Constant 
ist, werden ähnlich genannt. Die Gleichung 
! ¿bl «12 «13 ! 2 
4 2 = I «21 «22 «23 ! = № 
I «31 «32 «33 i 
ergiebt für d zwei Werte: 4 k 3 und — k 3 , denen zwei geometrisch verschiedene 
Arten ähnlicher Systeme entsprechen. 
Ist k = 1, so werden die beiden Systeme gleich genannt, und zwar die 
Systeme, in denen d = -\-1 congruente und die, für welche A = — 1 ist, 
symmetrisch. 
Es sind die Doppelelemente ähnlicher und gleicher Systeme aufzusuchen 
und die geometrischen Eigentümlichkeiten der beiden Arten ähnlicher und 
gleicher Systeme zu erörtern. 
8) Können zwei collineare räumliche Systeme stets in perspec- 
tivische Lage gebracht werden ? 
Anl. Die beiden Systeme müssen, wenn sie in perspectivische Lage sollen 
gebracht werden können, zwei entsprechende congruente ebene Systeme besitzen, 
deren jedes, wie die perspectivische Lage unmittelbar zeigt, zur Gegenebene 
seines räumlichen Systems parallel ist. 
A A A 
Es seien nun x = y = % = ~r die Collineationsgleichungen, so 
-0.4 -a-4 ^j-4 
mufs die Gleichung des fraglichen ebenen Systems die Form besitzen: A 4 = k, 
wo k eine zu eruierende Constante bedeutet. Für einen zweiten Punct unseres 
ebenen Systems x’, y, z bestehen die Gleichirngen 
wenn A' das Resultat der Substitution der Coordinaten x, y\ z des entsprechen 
den Punctes in A bezeichnet. Somit ist 
k*[{x - x’Y 4- (y - yf 4- (ß - *0T = [«n (S -1') 4 «12O7 - n) 4 ««(£- £')] 2 
4 [«21 (£ — £ ) 4 «22 (1? — v ) 4 «23 (£ — £ )] 2 
4 [«3i (£ — £ ) 4 «32 iv — v ) 4 «33 (£— £ )] 2 - 
Bezeichnet nun q die Entfernung der Puncte £, y, £ und r/, £', und sind 
a, ß, y die Winkel, welche ihre Verbindungslinie bezüglich mit der X-, Y- und 
Z-Axe bilden, so ist 
7c 3 = [a n cos u 4 «12 cos ß 4 «13 cos y] 2 
4 [«21 cos a 4 «22 cos ß 4 «23 cos y] 2 
' 4 [«31 cos a 4 «32 cos ß 4 «33 cos y] 2 • 
Zwischen den goniometrischen Functionen der Winkel besteht jedoch nicht eine 
ausreichende Anzahl Gleichungen, um das k unabhängig von denselben dar 
stellen zu können, denn es finden zwischen ihnen nur zwei Relationen statt: