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Erster Abschnitt. Erstes Capitel. Einleitung. 
9) Mittelst dieser Formeln lässt sich nun wieder durch parallele 
Verschiebung' des Systems die Entfernung' zweier Puñete und der 
Winkel berechnen, den die Verbindungslinie derselben mit jeder Axe 
einschliesst, 
10) Aus den Winkeln, welche die Axen zweier Parallel-Coor- 
dinatensysteme mit gemeinsamen Ursprung unter einander einschliefsen, 
sind die Formeln herzuleiten, welche den Zusammenhang der Coor 
dinateli irgend eines Puñetes bezüglich beider Systeme angeben. 
Es seien xyz die Coordinaten des Puñetes P bezüglich des Systems OXYZ, 
und xyz jene bezüglich des Systems OX'Y'Z', ferner r die Entfernung des 
Puñetes vom Ursprung 0. 
Projiciert man den geschlossenen Linienzug, der aus den Coordinaten x, 
y, z und den Radius vector r gebildet wird, auf die X- Axe, so ist nach Übung 8 
r cos {X, r) = x -J- y cos {YX) -j- z cos {ZX) ; 
die Projection des gleichfalls geschlossenen Linienzuges, der aus den Coordinaten 
x\ y’, z und r gebildet wird, auf die nämliche Axe, ergiebt hinwiederum: 
Übung 7 
r cos (X, r) — x' cos (X’X) -J- y cos (Y'X) -)- z cos {Z’X) . 
Somit: 
x -f- y cos {YX) -|- z cos {ZX) = x cos {X'X) -)- y cos {Y'X) -|- z cos [Z'X). 
Tn analoger Weise erhält man 
x cos (XY) -j- y -|- z cos {ZY) = x cos {YX') -f- y cos {YY') -f- z cos {YZ’) 
x cos (XZ) + y cos {YZ) -f- z = x cos {X'Z) y cos {Y'Z) -f- z cos {Z’Z). 
11) Den Inhalt einer Pyramide aus den rechtwinkligen Coor 
dinaten ihrer Eckpuncte zu bestimmen. 
Die Ableitung dieser Formel kann durch folgendes Lemma bewerkstelligt 
werden : 
Wird ein dreiseitiger prismatischer Raum durch zwei Ebenen geschnitten, 
so ist der hierdurch erhaltene Körper gleich der Summe dreier Pyramiden, die 
eines der beiden Dreiecke zur gemeinsamen Grundfläche haben und deren 
Spitzen in den Ecken des andern Dreiecks liegen. 
Projiciert mau nun die vier Ecken der Pyramiden auf einer der Coordinaten- 
ebenen, so entstehen vier derartige prismatische Stumpfe, aus deren algebraischer 
Summe sich der Inhalt der Pyramide zusammensetzt. Berechnet man nun den 
Inhalt jeder dieser Stumpfe, so erhält man für den Inhalt der Pyramide LT, 
wenn die Coordinaten ihrer Ecken mit x, y, z; x¡, y¡, Z t ; x 2 , y 2 , z 2 und x 3 , y¡, z 3 
bezeichnet werden, 
x, y, z, l 
«i. Vi, 1 
«2, y-Zi 1 
i Va i 1 1 
12) Den Neigungswinkel zweier Geraden aus den Winkeln zu 
berechnen, welche dieselben mit den Axen eines schiefwinkligen 
Systems bilden. 
Analog § 4, 3. 
71= +