20 I. Abschnitt. Zweites Capitel. Die Ebene und die lineare Gleichung. 
puncte, bezeichnen A, p, v die Winkel, welche derselbe bezüglich 
D 
mit der X-, Y- und Z- Axe einschliefst, ist ferner der spitze 
Winkel, den r und p mit einander bilden, so ist (§ 2, 1) 
ui 
x — r cos a, y — r cos ß, z — r cos y, 
p — r COS ot j 
je 
E 
ei 
p 
ferner 
setzt man hierin für cos seinen Wert (§ 4, 5.) 
cos -O- = cos a cos A -f- cos ß cos p -f- cos y cos v, 
so erhält man 
ei: 
p — (r cos «) cos A -f- {r cos ß) cos p -f- (ir cos y) cos v 
p = x cos A -f- y cos p -z cos v. 
oder 
(1.) 
m 
Geht die Ebene durch den Coordinaten-Anfangspunct, so vereinfacht 
sich die Ableitung. Daun ist af = 90° und somit 
cos a cos A -f- cos ß cos p -j- cos y cos v — 0 
(r cos a) cos A -{- { r cos ß) cos p -f~ (r cos y) cos v = 0, 
x cos A -(- y cos p -J- z cos v — 0. 
w 
oder 
also 
Diese Form ist in der obigen (1) enthalten und geht aus derselben 
hervor, wenn man darin p — 0 setzt, somit läfst sich die Gleichung 
einer jeden Ebene auf obige Form (1.) bringen. 
Aber auch jeder linearen Gleichung zwischen x, y und g kann 
man die obige Gestalt geben, so dafs jede solche Gleichung 
auch umgekehrt eine Ebene darstellt. Denn ist 
Ax + + Cs + S = 0 
(20 
die gegebene Gleichung, so lassen sich stets fünf Gröfsen A, p, v, 
p und q bestimmen, welche die Bedingungen erfüllen: 
cos A 2 -j- cos p 2 cos v 2 = 1, 
QÄ = COS A, Q B = cos p, qC—c OS V, qD = p . 
c 
Aus diesen fünf Gleichungen erhält man für die fünf Unbekannten 
A, p, v, y und p die Ausdrücke: 
n 
cos p = + 
VA* + + C 2 
C 
Va 2 + b 2 + c 2 
cos v — -}- 
(3.) 
n