22 I. Abschnitt. Zweites Capitel. Die Ebene und die lineare Gleichung. 
in der Durchschnittslinie der Ebene mit der (17)- Ebene. Die zweite 
Gleichung jedes dieser Systeme stellt dann die betreffende Durch- 
schnittslinie dar, bezogen auf das ebene Coordinatensystem, das mit 
ihr in derselben Coordinatenebene liegt. 
Die Durchschnittspuucte der Ebene mit den Axen könnte man 
nunmehr in der aus der analytischen Geometrie der Ebene bekannten 
Weise aus diesen Gleichungen der Durchschnittslinien auffinden; man 
erhält sie aber auch direct — eigentlich, indem man die beiden 
Schritte auf einmal thut — aus der Gleichung der Ebene vermöge 
der charakteristischen Eigenschaft der in einer Axe liegenden Puncte. 
Für die Puncte einer Axe sind nämlich die Coordinaten nach 
den beiden anderen Axen Null. Da wir somit stets zwei Coordinateli 
des Durchschnittspunctes der Ebene mit einer Axe kennen, so liefert 
uns ihre Gleichung die gesuchte dritte, wenn wir darin die Werte 
der beiden bekannten substituieren. So erhält mau für den Durch- 
schuittspunct mit der 
X - Axe : x == — ^ 
A 
V- A J) 
7-Axe: y = - ß . 
Z- Axe: 0 
B 
c ' 
Diese Coordinaten sind die Abschnitte, welche die Ebene auf den 
drei Axen bildet und sie gestatten, der Gleichung der Ebene eine 
neue Form zu geben. Bezeichnet man nämlich mit a, b, c die Ab 
schnitte, Avelche die Ebene bezüglich‘auf der X-, Y- und Z- Axe 
bildet, so erhält man durch Einführung dieser Werte aus der Glei 
chung der Ebene: 
x 1 V j 2 1 
— A: D~T~ — B : B~T~ — C : B ~~ 1 
die Form 
x 
a 
+ 
1 . 
Man kann von dieser wieder zur Normalform gelangen, indem man 
darin a, b, c durch den Abstand p der Ebene vom Coordinaten-An- 
fangspuncte und durch die Winkel A, p, v, welche derselbe bezüglich 
mit der X-, Y- und iT-Axe bildet, ausdrückt. Es ist nämlich, auch 
dem Zeichen nach: p = a cos A = b cos p = c cos v. 
2) Es sollen nunmehr nach x, y und z lineare Gleichungen be 
trachtet werden, in denen Glieder fehlen. 
Ist zunächst das letzte Glied I) = 0, so wird der Gleichung der 
Ebene durch das Wertsystem x — 0, y — 0, 8 = 0 genügt und es 
ist somit der Ursprung ein Punct der Ebene. Umgekehrt: geht eine