26 I* Abschnitt. Zweites Capitel. Die Ebene und die lineare Gleichung. 
Diese Relation giebt aber den Zusammenhang an, in dem die Coor- 
dinaten x, y, z irgend eines Punctes der Ebene stehen, ist also 
die Gleichung der gesuchten Ebene. 
Entwickelt man diese Determinante nach den Elementen ihrer 
ersten Zeile, so erhält man die Gleichung der Ebene in der allge 
meinen Form: 
2/1; «1, 1 
x \: 8\1 1 
*1, y t , i 
*1, 2/i, 
2/2. «2, 1 
— y 
X ‘l 1 «2 1 1 
+ ^ 
x 2 , y1 
— 
X 2> 2/2J ^2 
2/3 7 «3, 1 
*3, ^3, 1 
*3/ 03, 1 
*3, 2/3. ¿3 
= 0 
und es ist somit 
u — — 
2/1 ,«1,1 
x \ > 2/i, «1 
«1, «1, 1 
*1*01, «1 
2/2 , «2, 1 
*2, 2/2, ^2 
; v = 
#2, «2, 1 
X 2 , 2/2 > «2 
2/3, *3, 1 
^3, 2/3, ^3 
x A , z A , 1 
*3, 2/35 % 
w 
*1 , 
01, 
1 
*1, 
0r, 
«1 
x 2) 
2/2, 
1 
a?2, 
02, 
*3 7 
03, 
1 
*3 ? 
2/3. 
»3 
> (3-) 
welche Werte man auch unmittelbar aus den drei letzten Gleichungen 
des Systems hätte berechnen können. Diese'Formeln lehren, dafs 
u, v, w unendlich werden, wenn die Determinante 
X i 7 V\) «1 
D = X 2 i y 2 ) 8 2 
*3 i V:i i «3 
■ allein verschwindet, d. h. die Ebene geht dann durch den Coor- 
dinaten-Anfangspunct. Dies findet nicht mehr statt, wenn aufser 1) 
noch der Zähler eines der Ausdrücke u, v, w in (3.) verschwindet, 
welchen Fall wir nun näher erörtern wollen. 
Bezeichnen wir mit X, Y, Z die Zähler bezüglich von — u, v, —w, 
setzen wir also 
X = 
so ist 
02 ~ 01, *2 — 
2/3 — 2/1 > h - 
Z = 
Y = 
x.-, 
'i > 
x \ > 2/2 2/i 
*1; 2/.3 — 2/i 
¿2 - *1 
*3 —*i 
I) — x x X — y { Y-\- z { Z — x 2 X — y 2 Y -f- z 2 Z = x 3 X — y. A Y -f- z A Z. 
Verschwindet nun aufser D noch eine der Gröfsen X, Y, Z, etwa X, 
so bestellen zwischen Y und Z die drei Gleichungen 
y { Y = z x Z5 y 2 Y = z 2 Z; y A Y~= z A Z] 
diese können aber nur zusammen bestehen, wenn entweder Y == Z — 0 
oder