28 I. Abschnitt. Zweites Capitel. Die Ebene und die lineare Gleichung. 
ten D, X, Y, Z zwei, so geht entweder die Ebene der drei 
Puncte x x , y X} z x ; x 2 , y 2 , z 2 \ x. A , y ?i , z A durch eine Axe, wenn 
nämlich allein diese beiden Determinanten identisch ver 
schwinden — oder die drei Puncte liegen in einer Geraden. 
§ io. 
Fortsetzung. 
Unterliegt die Ebene blos der Bedingung durch zwei Puncte x x , 
y x , z { ; x 2 , y 2 , z 2 zu gehen; so lassen sich die drei Grölsen u y v, tv 
nicht mehr bestimmen, sondern es können nur zwei derselben durch 
die dritte, die willkürlich bleibt, ausgedrückt werden. Nimmt mau 
die Gleichung 
ux vy -\- wz 1 = 0, 
wo u, v, tv noch zu bestimmende Grölsen sind, als Gleichung der 
gesuchten Ebene an, so müssen die u, v, tv auch die beiden Gleichungen 
HX| -(- vy x -f- wz x -{-1=0 
ux 2 + vy 2 -+ tvz 2 +1=0 
befriedigen, ln der Gleichung der gesuchten Ebene lassen wir von 
den drei Grölsen u, v, w etwa das w willkürlich und betrachten also 
die u und v als die zu berechnenden Unbekannten. Nun können 
die drei Gleichungen nur dann zusammen bestehen, wenn ihre Deter 
minante verschwindet; also ist die Gleichung einer Ebene, welche 
durch die beiden gegebenen Puncte hindurchgeht: 
», 
y, 
tvz 
+1 
X x , 
Vif 
wz { 
+1 
»2 ; 
ih 7 
wz 2 
+1 
wo das w entsprechend der Unbestimmtheit der Aufgabe eine will 
kürliche Gröfse ist und jeder Wert des w somit die Gleichung 
einer Ebene liefert, welche die gestellten Bedingungen erfüllt. 
Diese Determinante läfst sich aber bekanntermafsen in eine ¡Summe 
zerlegen, und somit läfst sich die Gleichung jeder Ebene, welche 
durch die beiden Puncte hindurchgeht, in der Form darstellen: 
X, 
y, 
1 
X, 
y, 
z 
»1, 
Vif 
1 
-+ w 
X\ , 
y\, 
*\ 
x 2) 
Vl7 
1 
x 2 , 
y%7 
►gebracht werden kann, mufs durch die beiden Puncte x x , y l} z x ; 
Denn die Substitution der Coordinateli 
irgend eines der beiden Puncte an Stelle des x, y, z befriedigt die 
Gleichung, da hierdurch jede der beiden Determinanten für sich 
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