32 I- Abschnitt. Zweites Capitel. Die Ebene und die lineare Gleichung. 
Ebenen, die sich in einem Puncte schneiden, so geht jede 
vierte Ebene, deren Gleichung 
+ A 2 E 2 -f- A 3 E 3 = 0 
aus ihren linken Teilen vermittelst der Constanten A 1? 
A 2 , A 3 zusammengesetzt wird, ebenfalls durch den Punct. 
Denn die linke Seite der Gleichung: k { E v -f- X 2 E 2 -f- A 3 J£ 3 ver 
schwindet für die Coordinaten des Durchschnittspunctes der drei 
Ebenen _E7, == 0, _E7 2 == 0, E 3 — 0, da für diese sowohl E x als E 2 
als E 3 verschwinden; somit gehört der Dnrchschnittspunct auch der 
Ebene k 1 E i -}- k 2 E 2 -j- A 3 JEJ 3 = 0 au. 
Dieser Satz läfst sich auch umkehren: 
Geht eine Ebene durch den Dnrchschnittspunct der 
drei Ebenen E x =0, E 2 = 0, E 3 — 0, so lassen sich stets drei 
constante Gröfsen k { , k 2 , k 3 von der Art bestimmen, dafs 
ihre Gleichung die Porm: 
\ E i -f- k 2 E 2 -f- k 3 E 3 = 0 
annimmt. 
Denn die Gleichung k l E l -{- k 2 E 2 -j- k 3 E 3 = 0, in der die , Ä 2 , 
k 3 erst zu bestimmende Gröfsen seien, stellt nach dem Vorher 
gehenden eine Ebene dar, welche durch den Dnrchschnittspunct der 
drei Ebenen E i — 0, E 2 — 0, E 3 = 0 hindurchgeht. Nun kann man 
den Constanten k i , k 2 , k ä derartige Werte zuerteilen, dafs diese 
Ebene gleichzeitig durch irgend zwei angenommene Puncte der ge 
gebenen Ebene hindurchgeht. Man hat zu diesem Zwecke offenbar 
die k {) k 2 , k 3 nur der Bedingung zu unterwerfen, dafs der Gleichung 
der Ebene durch die Coordinaten jedes der beiden gegebenen Puncte 
genügt wird. Bezeichnet man also das Resultat der Substitution der 
Coordinaten des einen Punctes in E,, E 2 , E 3 bezüglich mit (Ej), (E 2 ), 
(E 3 ), das jenes des anderen mit [E 7 ,], [J? 2 ], [Ü|], so müfsen die k i} 
k 2 , k 3 die Gleichungen befriedigen 
ißy)k\ + (E 2 )k 2 -j- {E 3 )k 3 — 0 
[E\]k x -f- [E 2 ]k 2 -f- [E 3 ]k 3 = 0 . 
Diese geben in Verbindung mit 
ky E^ -j- k 2 E 2 -}- k 3 E 3 = 0 
als Gleichung der gesuchten Ebene 
E, 
En 
Eo 
(e[), {E\), (E t ) =0, 
№], [JE?*], [E 3 ] 
also eine Gleichung von der bezeichneten Form, wie die Entwicke 
lung dieser Determinante nach den Elementen der ersten Zeilen lehrt. 
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