42 I. Abschnitt. Zweites Capitel. Die Ebene und die lineare Gleichung. 
E z E s = 0 jene der äufseren Flächenwinkel des durch die drei Ebenen be 
stimmten Dreikants seien. Die Ebene E t E z -f- Eg — 0 geht (§ 9, 2) also durch 
die Schnittlinie der Ebenen l) E t = 0 und E 2 -f- E 3 — 0; 2) E 2 = 0 und E t -|- E 3 = 0; 
3) Eg — 0 und E l -(- E z — 0, woraus der Satz folgt: 
Die Durchschnittslinien der die äufseren Flächenwinkel eines Dreikants 
halbierenden Ebenen mit den gegenüberliegenden Seiten desselben liegen in 
einer Ebene. 
Ähnliche Sätze ergeben die anderen drei Gleichungen. 
4) Die drei Ebenen, welche durch eine Kante und die Halbierungs 
linie des gegenüberliegenden Kantenwinkels eines Dreikants gelegt 
werden, schneiden sich in einer Geraden. 
Anl. Es seien E t = 0, E 2 — 0, B 3 — 0 die Gleichungen in der Normalform 
der drei Ebenen des Dreikants. Die Seitenhalbierende Ebene, welche durch die 
Kante der Ebenen E { — 0 und E 2 — 0 hindurchgeht, wird eine Gleichung von 
der Form E v -(- IE 2 = 0 haben, wo l das Abstandverhältnis der gesuchten von 
den Ebenen Ei — 0 und E 2 — 0 bedeutet (§ 12, 6). Dieses ist somit aus den Be 
dingungen der Aufgabe zu finden. Wir erhalten: 
sin (31) 
sin (32) 
5) Die Ebenen, welche durch die Kanten eines Dreikants senk 
recht auf dessen gegenüberliegende Seiten gefällt werden, schneiden 
sich in einer Geraden. 
Anl. Sind Ei = 0, Eg — 0, E 3 — 0 die Gleichungen der Seiten des Dreikants 
in der Normalform, so sind die Gleichungen der drei Ebenen: 
Ej cos (31) — E 2 cos (32) = 0; E x cos (21) — E s cos (23) = 0 ; 
E 2 cos (12)— Eg cos (13) = 0. 
6) Die sechs Halbierungsebeuen der Neigungswinkel der Seiten 
flächen eines Tetraeders schneiden sich in einem Puncte, dem Mittel- 
puncte der eingeschriebenen Kugel. 
Anl. Sind Ei — 0, E z — 0, E 3 = 0, E 4 = 0 die Gleichungen der vier 
Seitenflächen des Tetraeders, so sind die Gleichungen der Halbierungsebenen: 
E { — Eg = 0; Ei — J&3 = 0; E t — E 4 = 0; E 2 —E 3 =0; Eg—E^O-, Eg—E^O. 
Nun läfst sich leicht zeigen, dafs jede der Halbierungsebenen durch den Durch- 
schnittspunct der drei Ebenen Ei — Eg = 0, Eg — D 3 == 0 und E 3 — E 4 = 0 
(§ 9, 3) hindurchgeht. 
7) Die Halbierungsebenen der Neigungswinkel der drei Seiten- 
fllächen eines Tetraeders, welche eine Ecke bilden, und die Halbie 
rungsebenen der drei gegenüberliegenden äufseren Neigungswinkel 
der Seitenflächen schneiden sich in einem Puncte, dem Mittelpuncte 
einer äufseren Berührungskugel des Tetraeders. 
Anl. Die Halbierungsebenen an der Ecke, die von den Ebenen E { = 0, 
Eg = 0, Eg — 0 gegeben sind, haben die Gleichungen 
Ei — Eg = 0, Ei — Eg = 0, Eg — Eg = 0;