§ 13. Übungen. 
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die Halbierungsebenen der drei gegenüberliegenden Neigungswinkel: 
Ei -J- E± = 0, E 2 -)- E4 = 0, E 3 -j- E 4 = 0 , 
woraus sich mittelst § 9, 3 unser Satz ergiebt. 
8) Welche Sätze sind in den Gleichungen enthalten ; 
+ -#2 + -^3 + E i = 0 
— E 4 E 2 E 3 E 4 = 0 
E x — E 2 -f E 3 -f E 4 = 0 
+ E 2 — E 3 + E 4 = 0 
— E 4 = 0 . 
Anl. Z. B. die erste läfst sich auf verschiedene Weise als durch Addition 
der Gleichungen bekannter Ebenen entstanden darstellen: 
{Ei -f- E 2 ) -f- {E 3 + E 4 ) = (Ei + E 3 ) + {E 2 -f E 4 ) = [Ei + E 4 ) + [E 2 + E 3 ) — 0 . 
9) Liegen zwei Tetraeder AE CD und ÄE'C'D' derart, dafs 
die Schnittlinien der den gleichnamigen Ecken der beiden Tetraeder 
gegenüberliegenden Seitenflächen in einer Ebene liegen, so schneiden 
sich die Verbindungslinien dieser Ecken in einem Puncte. 
Anl. Es seien A = 0, B = 0, (7 = 0, _D = 0; A'= 0, B'= 0, C'= 0, IJ== 0 
die Gleichungen der den gleichbezeichneten Tetraederecken gegenüberliegenden 
Seitenflächen. 
Da die Ebenen, deren Gleichungen durch die nämlichen nur durch Striche 
unterschiedenen Symbole dargestellt werden, sich auf derselben Ebene schneiden, 
so läfst sich mittelst gewisser Constanten die Gleichung dieser Ebene in jeder 
der Formen ausdrücken: 
ai + aA’ = ßB + ß'B' = V G + y'C = dB + 8'D'. 
Hieraus folgen die sechs Gleichungen 
aA-ßB = ß'B'~ u'A’i ßB ~ yG = y'C - ß’B\ y G — 8 D = d'D - y G' 
aA — yG = y'C — a’A’; ßB — 8 D = 8 1) — ß'B' 
aA — 81) = 81) —a'A', 
diese Gleichungen lehren, dafs je zwei gleichbezeichnete Kanten der beiden 
Tetraeder in einer Ebene liegen. Als die Gleichungen dieser sechs Ebenen 
können wir somit die folgenden ansehen: 
aA — ßB = 0; ßB — y C = 0; y C — 8D — 0 
aA — y C = 0; ßB—SD = 0 
aA — 8D = 0 . 
Aus diesen Gleichungen läfst sich nach § li leicht zeigen, dafs jede der 
sechs Ebenen durch den Durchschnitt der drei geht, deren Gleichungen in der 
ersten Zeile stehen. 
10) Es ist zu zeigen, dafs auch die lineare Gleichung zwischen 
den schiefwinkligen Coordinaten eines Functes eine Ebene darstellt. 
Und umgekehrt. 
Man beweise, dafs die Gerade, welche irgend zwei Puncte des durch die 
Gleichung dargestellten Ortes verbindet, ganz in denselben hineinfällt. Zu dem