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1. Abschnitt. Dx-ittes Capitel. Der Punct.
willkürlich bleibt. Wählt man zu dieser dritten etwa z, so erhält man die
Gleichung eines Punctes, der den Ebenen u x , Vy, tv i ; u 2 , v 2 , w 2 ge
meinsam ist, indem man in seine supponierte Gleichung
xu -f- yv -f- zw -f- 1=0,
die aus den beiden ersten Gleichungen entnommenen Ausdrücke für
x und y substituirt, oder in der schon öfters geübten Weise aus der
Bemerkung, dafs diese drei Gleichungen zusammenbestehen sollen.
Man findet so als Gleichung des Punctes:
wz-f- 1
w x z -f- 1 = 0
w 2 z -f- 1
oder nach bekannten Regeln
u, v, I
«1 , Vy, 1 + 3
U 2 > V 2; 1
U, V, W
Uy , Vy, Wy
u 27 ^2’ W 2
Auf diese Form läfst sich somit die Gleichung jedes Punctes der
Durchschnittslinie der beiden Ebenen u y , Vy, w x und u 2 , v 2 , w 2
bringen; aber auch umgekehrt jeder Punct, dessen Gleichung die
obige Form gegeben werden kann, liegt auf der üurchschnittslinie
der beiden Ebenen, denn der Gleichung wird sowohl durch die Wert
gruppe Uy, Vy, Wy als auch u 2 , v 2 , w 2 genügt. Läfst man daher in
der obigen Gleichung z alle Werte von ,— oo bis -f- oo durchlaufen,
so erhält mau die Gesammtheit aller Puncte, die auf der Durchschnitts
linie der beiden Ebenen liegen. iSpeciell für z — 0 findet man die
Gleichung
u, v, 1
Uy, Vy, 1
U 2 . v 2 , 1
0
welche nach § 15 den Durchschnittspunct der Geraden mit der {X Y)-
Ebene darstellt; für z = oo nach § 15 die Gleichung des unendlich
fernen Punctes.
Die Gleichung eines Punctes der Durchschnittsliuie der beiden
Ebenen wird also erhalten, indem man die linken Seiten der Gleich
ungen dieser beiden speciellen Puncte, mit bestimmten constanten
Factoren multipliciert, zu einander addiert. Es ist aber leicht ein
zusehen, dafs man hierin unter Änderung der constanten Factoren
die linken Seiten der Gleichungen dieser beiden speciellen Puncte
durch die irgend zweier Puncte der Durchschnittslinie der Ebenen
ersetzen kann, wie aus dem folgenden Satze hervorgeht:
Sind Fy — 0 und P 2 == 0 die Gleichungen zweier Puncte,
