§17. Fortsetzung. 
57 
die beiden anderen unbestimmt bleiben. Wählt man zu letzteren die 
Gröfsen y, s,. sy eihält man die Gleichung eines Punctes, der in der 
Ebene u x , o x liegt, in der Form: 
u, yv -f-zw -f- 1 
u 
1 > 
yv 1 + + 1 
0, 
oder nach bekannten Regeln 
u, 1 
u,, 1 
+ y 
u, 
V 
+ * 
u, 
w 
u x , 
V'l 
u x , 
w x 
= 0, 
Hierin sind die y und z willkürliche Gröfsen und für jedes Wert 
system derselben liefert die Gleichung einen Punct der Ebene u x , v x , w x . 
Auf obige Form läfst sich also die Gleichung eines jeden Punctes 
der Ebene u x , v x , w x bringen, aber auch umgekehrt: jeder Punct, 
dessen Gleichung die obige Form hat, liegt in der Ebene u x , v x , w x . 
Denn die W r ertgruppe u — u x , v = v x , w — w x genügt der obigen 
Gleichung, da durch diese Substitution jede einzelne Determinante 
verschwindet. Läfst mau daher in der Gleichung die willkürlichen 
Gröfsen y und z alle Werte von — oo bis -f- oo durchlaufen, so er 
hält man die Gesammtheit aller Puucte, welche die Ebene constituiereu. 
Speciell für y — 0, z = 0 erhält man, wie die Form der Gleich 
ung zeigt, nach § 15 den Durchschnittspunct der Ebene u x , v x , w x 
mit der X-Axe; für y — oo, z = 0 stellt die Gleichung (§ 15) den 
unendlich fernen Punct der Durchschnittsliuie der Ebene mit der 
{X Y)-Ebene dar; für y — 0, z = oo den unendlich fernen Punct 
der Durchschnittslinie der Ebene mit der (XX)-Ebene. 
Die linke Sejte der Gleichung eines Punctes der Ebene stellt 
sich somit dar als die Summe der mit bestimmten coustanten Fac- 
toreu multiplicierten linken Teile der Gleichungen dieser drei be 
sonderen Puncte. Diese Thatsache ist nur eine Folge der beiden Sätze: 
Sind P, =0, P 2 = 0, P 3 — 0 die Gleichungen dreier 
nicht in einer Geraden liegenden Puncte einer Ebene 
und Aj, A 2 , A 3 coustante Factoren, so stellt die Gleichung 
l x F x + A 2 P 2 -f A 3 P 3 = 0 
einen Punct dieser Ebene dar. 
Und umgekehrt: 
Liegt ein Punct in der Ebene der drei Puncte 
P\ — 0, P 2 = 0, P 3 = 0, 
so lassen sich stets drei constante Factoren A 1? A 2 , A 3 von 
der Art auffinden, dafs die Gleichung dieses Punctes die 
Form annimmt 
l x l\ + l 2 l\ + A 3 P 3 = 0.