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I. Abschnitt. Drittes Capitel. Der Punct. 
Der erste Satz folgt aus der Bemerkung, dafs die linke Seite der 
Gleichung dieses Punctes: -f- A 2 P 2 -(- A 3 P 3 verschwindet für die 
Coordiuaten der Ebene, welche durch die drei Puncte 
Pi = 0, P 2 = 0, P 3 = 0 
bestimmt wird, da für dieselben sowohl F i als auch P 2 als auch P 3 
verschwindet. Somit genügen sie der Gleichung des Punctes 
Ai Pj + A 2 P 2 -j- A 3 P 3 = 0 . 
Hieraus ergiebt sich sofort die Umkehrung. Denn man kann in 
der Gleichung des Punctes A, F x -f- A 2 P 2 -f- A 3 P 3 = 0, welcher also 
in der Ebene der drei Puncte 1\ = 0, P 2 = 0, P 3 = 0 liegt, die 
Constanten A l; A 2 und A 3 derart bestimmen, dafs er gleichzeitig in 
zwei gegebenen Ebenen liegt. Man hat zu diesem Behufe die A„ A 2 
und A 3 blos der Bedingung zu unterwerfen, dafs der Gleichung 
A,Pi + A 2 P 2 -f- A 3 P 3 = 0 
durch die Coordiuaten jeder der beiden Ebenen genügt wird. Wählt 
man nun hiefür zwei Ebenen, welche durch den gegebenen Punct 
gehen, so fällt der Punct 1\ -f A 2 P 2 -f- A 3 P 3 = 0 mit ihm zu 
sammen. 
Bezeichnen daher (Pj), (P 2 ), (P 3 ) die Resultate der Substitution 
der Coordinateu der einen und [P 4 ], [P 2 ], [P 3 ] jene der Coordinaten 
der zweiten Ebene bezüglich in P,, P 2 , P 3 , so erhält man die 
Gleichung des Punctes durch Elimination von Aj, A 2 und A 3 aus den 
drei Gleichungen: 
Ai Pi -j- A 2 P 2 -f- A 3 P 3 =?= 0 
Ai (Pi) + A 2 (P 2 ) + A 3 (P 3 ) == 0 
Ai[P,] + A 2 [PJ +A 3 [P 3 ] = 0 > 
wodurch sich ergiebt: 
P,, P a , P 3 
№). №), (-P.) =o. 
[P,], [P 2 ], [P 3 ] 
Diesen beiden Sätzen können wir wieder eine andere, für manche 
Anwendungen passendere Fassung geben: 
Besteht zwischen den Gleichungen der vier Puncte 
Pj = 0, P 2 == 0, P 3 = 0, P 4 — 0 vermöge der Constanten 
A 1; A 2 , A 3 , A 4 die Identität: 
Ai Pi + Ä 2 P 2 + A 3 P 3 -(- A 4 P 4 — 0 , 
so liegen die vier Puncte in derselben Ebene. 
Sind Pi = 0, P 2 = 0, P 3 = 0, P 4 = 0 die Gleichungen 
von vier Puncten, weichein derselben Ebene liegen, so