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I. Abschnitt. Viertes Capitel. Die Gerade. 
ung aus, unter der die beiden Geraden zu einander paral 
lel sind. Dieselben zeigen, dafs dann die Ebenen, welche die beiden 
Geraden auf dieselbe Coordinatenebeue projicieren, zu einander parallel 
sind, wie wir denn umgekehrt aus dieser geometrischen Thatsache 
die obigen ßedingungsgleichungen für den Parallelismus der beiden 
Geraden hätten ableiten können. 
§ 22. 
Winkel einer Geraden und Ebene. 
Um den Winkel zu berechnen, den eine Gerade und eine Ebene 
mit einander bilden, gehen wir von der Bemerkung aus, dafs dieser 
Winkel jenen zu 90° ergänzt, welchen die Gerade mit dem Perpen 
dikel auf die Ebene einschliefst. Die Winkel, die dieses Perpen 
dikel mit den Axen bildet, sind aber durch die Gleichung der Ebene 
§ 7, 2 gegeben und daher auch der Winkel, den diese beiden Geraden 
einschliefsen, leicht bestimmbar. 
Es sei 
Ax -f By -f Cs + D = 0 
die Gleichung der Ebene, und 
x — ms -j- p, y = ns -f- q 
seien die Gleichungen der Geraden. 
Bezeichnen cc, ß, y die Winkel, welche das Perpendikel auf die 
Ebene bezüglich mit der X-, Y- und Z-Axe einschliefsen, so ist 
wo für die allgemeine Wurzel jenes Zeichen zu nehmen ist, durch 
welches , — positiv wird: die Winkel /1, u, v, welche die 
Vä 2 + B 2 -f C 2 
Gerade bezüglich mit der X- Y- und Z-Axe bildet, sind wieder durch 
die Formeln gegeben § 20, 2 
n 
; cosa 
cos v = -■ 
Vvi 2 -f- n * + 1 
V m 2 -{- n 2 -f- 1 
Bezeichnet daher of den Winkel, den die Gerade mit der Ebene 
bildet, so ist 90° — & der Winkel, den dieselbe mit dem Perpendikel 
eiuschliefst und daher 
Am Bn G 
(1.) 
VA 2 + B 2 + C 2 Vm 2 + n 2 4- 1 
Aus dieser Formel kann mau nun die Bedingungen ableiten, 
unter welchen eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht, oder ihr 
parallel ist.